Question

(2x - 5)³ + (2x - 3)²
Aplicar o produto notável

Answer 1

Começando primeiro pelo segundo produto notável [ (2x - 3$^{2}$) ].

Temos que (a - b)$^{2}$ resulta em (a - b) . (a - b) [Aplicando o "chuveirinho" teremos:

a$^{2}$ - ab - ba + b$^{2}$

- a.b = - b.a, logo

a$^{2}$ - a.b - a.b + b$^{2}$

- a.b - a.b (resumi-se a - y - y = - 2.y), Logo:

a$^{2}$ - 2ab + b$^{2}$

Em palavras: a diferença de um produto notável ao quadrado é:
"a ao quadrado - 2 (duas) vezes a vezes b mais* b ao quadrado"

Obs.: O quadrado é porque um número vezes ele mesmo é o número ao quadrado.
* O mais aparece na equação pois um número negativo (no caso -b) foi multiplicado por outro número negativo (-b). E o negativo de um número "vezes" o negativo de outro (ou o mesmo número) dá positivo.

Mas voltemos a diferença (pois tem um sinal de subtração) do seu produto notável.

(2x)$^{2}$ - 2 (2x - 3) + (3)$^{2}$ =

= 4x$^{2}$ + [ (-4x) . (-6) ] + 9 =

= 4x² -12x + 9
( A primeira parte somente do segundo produto notável [2x-3] )


Do primeiro temos:

(2x - 5)³, que resumidamente é:

(2x - 5) . (2x - 5) . (2x - 5). Logo temos um produto notável do primeiro ao quadrado (2x - 5) . (2x - 5) que sabemos que dá:

(2x)² - 2 . (2x) . (-5) + (5)² = 

= 4x² - 20x + 25


Isso vezes o último termo que faltou do cubo ...
(4x² - 20x + 25) . (2x - 5)

"Aplicando a regra do chuveirinho" [Vou reescrever para ficar mais prático:

(2x - 5) . (4x² - 20x + 25) =

= (2x) . (4x²) + (2x) . (- 20x) + (2x) . (+ 25) + (- 5) . (4x²) + (- 5) . (- 20x) + (-5) . ( + 25) =

= 8x³ - 40x² + 50x - 20x² + 100x - 125 = 

= 8x³ - 60x² + 150x - 125

Juntando os dois pedaços temos:

(8x³ - 60x² + 150x - 125) + (4x² -12x + 9) = 

= 8x³ - 56x² + 138x - 116

Evidenciando os numerais:

2 . (4x³ - 28x² + 69x - 58) = 

2 . (x−2) . (4x² - 20x + 29)