Question

( 2x+3)³ (x+2y)³ (2b+2)³ (2x+3y)³

Answer 1

• A resposta se encontra no final da resolução.

Irei resolver essa tarefa da maneira mais legal de todas. A partir do binômio de Newton. Dado da seguinte forma:

                   $\large\displaystyle\begin{gathered} ( a+b)^n = \sum _{k=0} ^{n} \binom{n}{k}\ a^kb^{n-k} \end{gathered}$

Desenvolvendo uma por uma, começando pelo ( 2x+3)³.

                $\large\displaystyle\begin{gathered} ( 2x+3)^3 = \sum _{k=0} ^{3} \binom{3}{0}\ (2x)^0(3)^{3-0} \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered} ( 2x+3)^3 = \binom{3}{0}\ 2x^0b^{3} + \binom{3}{1}\ 2x^1b^{2} + \binom{3}{2}\ 2x^2b^{1} + \binom{3}{3}\ 2x^3b^{0} \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered} ( 2x+3)^3 = \binom{3}{0}\ b^{3} + \binom{3}{1}\ 2xb^{2} + \binom{3}{2}\ 2x^2b+ \binom{3}{3}\ 2x^3 \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered} ( 2x+3)^3 = \binom{3}{0}\ 3^3+ \binom{3}{1}\ 2x 3^{2} + \binom{3}{2}\ 2x^23+ \binom{3}{3}\ 2x^3 \end{gathered}$

Lembrando que:

                      $\large\displaystyle\begin{gathered} \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} \end{gathered}$

Continuando o desenvolvimento de ( 2x+3)³.

$\large\displaystyle\begin{gathered} \frac{3!}{0! (3-0)!}3^3 + \frac{3!}{1! (3-1)!}2x3^{2} + \frac{3!}{2! (3-2)!} 2x^23+ \frac{3!}{3! (3-3)!}\cdot 2x^3 \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered} 1 \cdot 3^3 + 3 \cdot (2x)3^{2} + 3 \cdot (2x^2)3+ 1\cdot (2x^3) \end{gathered}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \therefore \boxed{\boxed{\green{27 + 54x + 36x^2+ 8x^3}}}\end{gathered} }$

Esssa é a forma mais divertida de desenvolver um produto notável. Bom, daqui em diante eu irei resolver pela seguinte fórmula:

                 $\large\displaystyle\begin{gathered} (a+b)^3 =a^3+3a^2b + 3ab^2 + b^3 \end{gathered}$

Desenvolvendo (x+2y)³:

$\large\displaystyle\begin{gathered} (x+2y)^3 =(x)^3+3(x)^2(2y) + 3(x)(2y)^2 + (2y)^3 \end{gathered}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \therefore \boxed{\boxed{\green{(x+2y)^3 =x^3+6x^2y + 12xy^2 + 8y}}} \end{gathered} }$

Desenvolvendo (2b+2)³:

$\large\displaystyle\begin{gathered} (2b+2)^3 =(2b)^3 + 3 (2b)^2(2) + 3 (2b)(2)^2 + (2)^3 \end{gathered}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \therefore \boxed{\boxed{\green{(2b+2)^3 =8b^3 + 24b^2 + 24b + 8 }}}\end{gathered} }$

Desenvolvendo (2x+3y)³:

$\large\displaystyle\begin{gathered} (2x+3y)^3 =(2x)^3 + 3(2x)^2 (3y) + 3 (2x)(3y)^2 + (3y)^3\end{gathered}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \therefore \boxed{\boxed{\green{(2x+3y)^3 =8x^3 + 36x^2 y + 54xy^2 + 27y^3}}}\end{gathered} }$

Substituindo os produtos notáveis por suas formas desenvolvidas, temos que:

       $\large\displaystyle\begin{gathered}( 2x+3)^3 (x+2y)^3 (2b+2)^3 (2x+3y)^3 \\ \vdots\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\left[27 + 54x + 36x^2 + 8x^3 \right] \left[ x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3\right] \dots \end{gathered} \\ \large\displaystyle\begin{gathered} \left[ 8b^3+24b^2+24b+8 \right] \left[ 8x^3+36x^2y+54xy^2+27y^3 \right]\end{gathered}$

Obs: Esse é a resposta. Se você quiser, pode multiplicar, não tem muito o que fazer nesse exercício além de desenvolver os produtos notáveis.

Veja mais sobre:

Binômio de Newton.

$\blue{\square}$ brainly.com.br/tarefa/18907144