Matemática, perguntado por ednilsonalves534, 9 meses atrás

√2x+1 +2√x=21/√2x+1 equação irracional me ajuda ai como resolver está equação irracional por favor, não se certo se levo as primeiras equação ao quadrado ou racionaliso por favor

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

A ideia para resolver esta equação irracional, é torná-la mais simples fazendo manipulações algébricas e depois elevar os membros ao quadrado:

$\begin{array}{l}\\\sf\sqrt{2x+1}+2\sqrt{x}=\dfrac{21}{\sqrt{2x+1}}\\\\\sf\sqrt{2x+1}\cdot(\sqrt{2x+1}+2\sqrt{x}\:)=\dfrac{21}{\sqrt{2x+1}}\cdot\sqrt{2x+1}\\\\\sf(\sqrt{2x+1})^2+2\sqrt{2x^2+x}=21\\\\\sf2x+1+2\sqrt{2x^2+x}=21\\\\\sf-2x-1+2x+1+2\sqrt{2x^2+x}=21-2x-1\\\\\sf2\sqrt{2x^2+x}=20-2x\\\\\sf(2\sqrt{2x^2+x})^2=(20-2x)^2\\\\\sf4\cdot(2x^2+x)=(20)^2-2\cdot(20)\cdot(2x)+(2x)^2\\\\\sf8x^2+4x=400-80x+4x^2\\\\\sf-4x^2+8x^2+4x=400-80x+4x^2-4x^2\\\\\sf4x^2+4x=400-80x\\\\\sf80x+4x^2+4x=400-80x+80x\end{array}$

$\begin{array}{l}\\\sf4x^2+84x=400\\\\\sf-400+4x^2+84x=400-400\\\\\sf4x^2+84x-400=0\\\\\end{array}$

Surgiu uma equação do 2º grau. Resolvendo por fatoração:

$\begin{array}{l}\\\sf4(x^2+21x-100)=0\\\\\sf4(x^2-4x+25x-100)=0\\\\\sf4(x(x-4)+25(x-4))=0\\\\\sf4(x+25)\cdot(x-4)=0\\\\\begin{cases}\sf x+25=0~\Rightarrow~x'=-25\\\\\sf x-4=0~\Rightarrow~x''=4\end{cases}\end{array}$

Encontramos duas raízes, vamos verificar se são verdadeiras, substituindo-as na equação:

$~~$

Para x = - 25:

$\begin{array}{l}\sf\sqrt{2\cdot(-25)+1}+2\sqrt{-25}=\dfrac{21}{\sqrt{2\cdot(-25)+1}}\end{array}$

Como podemos ver, temos a raiz quadrada de um número negativo, e no conjunto dos reais não admite solução. Portanto x = - 25 não nos serve.

$~~$

Para x = 4:

$\begin{array}{l}\sf\sqrt{2\cdot4+1}+2\sqrt{4}=\dfrac{21}{\sqrt{2\cdot4+1}}\\\\\sf \sqrt{8+1}+2\cdot2=\dfrac{21}{\sqrt{8+1}}\\\\\sf\sqrt{9}+4=\dfrac{21}{\sqrt{9}} \\\\\sf3+4=\dfrac{21}{3}\\\\\sf7=7\\\\\end{array}$