Question

(2m-7)x²-mx+m, admita raízes iguais, m deverá ser quanto?

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que os possíveis valores para o parâmetro "m", de modo que a referida equação do segundo grau tenha duas raízes iguais, são:

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf m' = 0\:\:\:e\:\:\:m'' = 4\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a equação quadrática:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} (2m - 7)x^{2} - mx + m = 0\end{gathered}$

Para que a referida equação tenha duas raízes iguais é necessário que o valor numérico do delta seja "0", ou seja:

                                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} \Delta = 0\end{gathered}$

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} b^{2} - 4ac = 0\end{gathered}$

 $\Large\displaystyle\begin{gathered} (-m)^{2} - 4\cdot(2m - 7)\cdot m = 0\end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} m^{2} - 4\cdot(2m^{2} - 7m) = 0\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} m^{2} - 8m^{2} + 28m = 0\end{gathered}$

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} -7m^{2} + 28m = 0\end{gathered}$

Calculando os possíveis valores de "m", temos:

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} m = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\end{gathered} }$

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}\end{gathered} }$

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{-28\pm\sqrt{28^{2} - 4\cdot(-7)\cdot0}}{2\cdot(-7)}\end{gathered} }$

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{-28\pm\sqrt[\!\diagup\!]{28^{\!\diagup\!\!\!2}}}{-14}\end{gathered} }$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{-28\pm28}{-14}\end{gathered}$

Obtendo as raízes, temos:

    $\LARGE\begin{cases} m' = \frac{-28 + 28}{-14} = \frac{0}{-14} = 0\\m'' = \frac{-28 - 28}{-14} = \frac{-56}{-14} = 4\end{cases}$

✅ Portanto, os possíveis valores de "m" são:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} m' = 0\:\:\:e\:\:\:m'' = 4\end{gathered}$

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