Question

2log2^x + long2^3 - log2 (x-1) = log2^6 + log 2^x

Answer 1

Primeiro vamos começar calculando a condição de existência no Log (x - 1). Sabemos que o logaritmando deve ser maior que "0" então vamos pegar o logaritmando e colocá-lo sendo maior que "0":

$\sf(x - 1) > 0 \\ \sf x > 1$

Agora podemos prosseguir o cálculo.

Temos a seguinte gigante expressão logarítmica:

$\boxed{ \sf 2. log_{2}(x) + log_{2}(3) - log_{2}(x - 1) = log_{2}(6) + log_{2}(x) }$

Vamos começar colocando aquele número "2" que está na frente do Log no expoente de "x" através da propriedade:

$\boxed{\sf log_{a}(b){}^{n} = n. log_{a}(b) }$

Aplicando:

$\sf 2. log_{2}(x) + log_{2}(3) - log_{2}(x - 1) = log_{2}(6) + log_{2}(x)\\ \\ \sf log_{2}(x^{2}) + log_{2}(3)- log_{2}(x - 1)= log_{2}(6) + log_{2}(x)$

Agora vamos usar a propriedade de fazer com que uma soma de Log's vire um produto, através da propriedade:

$\boxed{\sf log_{a}(b) + log_{a}(c) = log_{a}(b.c) }$

Aplicando:

$\sf log_{2}(x {}^{2}) + log_{2}(3) - log_{2}(x - 1 )= log_{2}(6 ) + log_{2}(x) \\ \\ \sf log_{2}(x {}^{2}.3 ) + log_{2}(x - 1) = log_{2}(6) + log_{2}(x) \\ \\ \sf log_{2}(3x {}^{2} ) + log_{2}(x - 1) = log_{2}(6) + log_{2}(x)$

Podemos aplicar mais uma propriedade que é a de transformar uma subtração de Log's em uma divisão, através da propriedade:

$\boxed{ \sf log_{a}(b) - log_{a}(c) = log_{a}( \frac{b}{c} ) }$

Aplicando:

$\sf log_{2}(3x {}^{2} ) + log_{2}(x - 1) = log_{2}(6) + log_{2}(x) \\ \\ \sf log_{2}( \frac{3x {}^{2} }{x - 1} ) = log_{2}(6) + log_{2}(x)$

Do outro lado da igualdade também temos uma soma de log's, então vamos usar a propriedade que usamos ali em cima.

$\sf log_{2}( \frac{3x {}^{2} }{x - 1} ) = log_{2}(6) + log_{2}(x) \\ \\ \sf log_{2}( \frac{3x {}^{2} }{x - 1} ) = log_{2}(6.x)$

Devemos lembrar que quando temos igualdade de Log's e eles possuem a mesma base, podemos dizer que os logaritmandos são iguais.

$\begin{cases} \sf log_{x}( A) = log_{x}(B) \\ \sf A = B\end{cases}$

Aplicando:

$\sf log_{2}( \frac{3x {}^{2} }{x - 1} ) = log_{2}(6.x) \\ \\ \sf\frac{3x {}^{2} }{x - 1} = \frac{6x}{1} \\ \\ \sf 3x {}^{2} .1 = 6x.(x - 1) \\ \\ \sf 3x {}^{2} = 6x {}^{2} - 6x \\ \\ \sf 6x {}^{2} - 3x {}^{2} - 6x = 0 \\ \\ \boxed{\sf 3x {}^{2} - 6x = 0}$

Agora temos que resolver essa equação do segundo grau.

$\sf 3x {}^{2} -6 x = 0 \\ \\ \sf\star \: coeficientes : \\ \begin{cases} \sf a = 3 \\ \sf b = - 6 \\ \sf c = 0\end{cases} \\ \\ \sf\star \: discriminante : \\ \sf\Delta = b {}^{2} - 4.a.c \\ \sf\Delta = ( - 6) {}^{2} - 4.3.0 \\ \boxed{\sf\Delta = 36} \\ \\ \sf\star \: bh \acute{a}skara : \\ \sf x = \frac{ - b \pm \sqrt{\Delta} }{2.a} \\ \\ \sf x = \frac{ - ( - 6) \pm \sqrt{36} }{2.3} \\ \\ \sf x = \frac{6 \pm6}{6} \rightarrow \begin{cases} \sf x_1 = \frac{6 + 6}{6} \\ \sf x_1 = \frac{12}{6} \\ \sf x_1 = 2 \\ \\ \sf x_2 = \frac{6 - 6}{6} \\ \sf x_2 = \frac{0}{6} \\ \sf x_2 = 0 \end{cases}$

Portanto temos que o "x" pode ser igual a "0" ou "2", mas esses não são os valores de fato, para descobrir de fato devemos analisar a condição de existência que fizemos no começo da questão.

A única condição de existência, diz que "x" deve ser maior que "1", analisando os nossos resultados, o único que se encaixa nessa condição é o valor igual a "2" que é maior que 1, portanto essa é a nossa resposta.

Resposta: x = 2.

Espero ter ajudado