Question

29. Um balão está subindo numa velocidade constante de 2 m/s. Um
garoto está andando de bicicleta por uma estrada numa velocidade
de 5 m/s. Quando ele passar por baixo do balão, o mesmo estará
15 m acima dele. Quão rápido cresce a distância entre o balão e
o garoto 3 segundos mais tarde?​

Answer 1

A questão é sobre taxas relacionadas e como envolve um pouco de geometria, é sempre uma boa ideia fazer o desenho para ver o que está acontecendo. Nesse caso é útil usar geometria analítica para modelar o problema.

Como o garoto se move horizontalmente e o balão se move verticalmente, vamos considerar que a posição do balão em cada instante de tempo t é um ponto no eixo y de um sistema de coordenadas e a do garoto é um ponto do eixo x. Em outras palavras, num instante t temos:

Posição do garoto: (f(t), 0)

Posição do balão: (0, g(t))

Além disso, no instante inicial t = 0, o garoto está abaixo do balão, que tem altitude 15m. Ou seja, f(0) = 0 e g(0)  = 15. Na figura anexada os pontos vermelhos representam a posição do garoto e os azuis representam o balão. As 'flechas' representam a 'direção de movimento'.

Agora vamos encontrar as funções f e g. O balão sobe a uma velocidade constante de 2 m/s. Ou seja, a derivada de g é 2. Logo, como g(0) = 15 concluímos que g(t) = 15 + 2t. Além disso, o garoto se com velocidade 5m/s. Assim, sua derivada é 5 e isso implica que f(t) = 5t. Ou seja, num instante t temos:

Posição do garoto: (5t, 0)

Posição do balão: (0, 15+2t)

Para concluir o problema, seja d a distância entre os dois. Ou seja, d(t) é a distância entre os pontos (5t,0)  e (0, 15 + 2t). Logo:

d(t)² = (5t)² + (15+2t)² = 29t² + 60t + 225   ( I )

Queremos saber quão rápido d aumenta no instante t = 3. Isto é, queremos a derivada d'(3). Derivando implicitamente a equação ( I ) temos

2d'(t) d(t) = 58t + 60

d'(t) d(t) = 29t + 30

Substituindo t = 3 fica:

d'(3) d(3) = 117  ( II )

Para achar d(3) basta substituir t = 3 na equação ( I ) também:

d(3)² = 29*9 + 60*3 + 225 = 666

d(3) = 3√74

Assim substituindo novamente em ( II ) temos

d'(3) = 39 / √74 ≈ 4,53

Concluímos então que a distância aumenta a uma taxa de 39 / √74 m/s

Obs.:

Na equação ( I ) podemos isolar a distância e derivar diretamente. Ficaria assim:

$d(t) = \sqrt{29t^2 + 60t + 225} \implies d'(t) = \dfrac{29t+30}{\sqrt{29t^2 + 60t + 225}} \implies\boxed{d'(3) = \dfrac {39}{\sqrt{74}}}$

Resposta:

A distância cresce a uma taxa de aproximadamente 4,53 m/s

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