29) Em cada item, determine a medida x indicada.
a)
c)
Х
22 cm
60°
Х
26 cm
45°
b)
d)
60°
x 300
Ilustrações: Acervo da editora
16 cm
18 cm
30
x
Soluções para a tarefa
Bom dia! Seguem as respostas com algumas explicações.
Resoluções:
OBSERVAÇÃO: Para compreender melhor as introduções de cada item, observe, em anexo, a ilustração do problema.
a)Nota-se que neste triângulo retângulo foram indicados:
-hipotenusa: 26 cm;
-cateto horizontal: x (Observação: este cateto é adjacente ao ângulo fornecido.)
-ângulo entre a hipotenusa e o cateto horizontal: 60º
-Dos dados acima, conclui-se que a medida correspondente a x pode ser calculada por meio da razão trigonométrica do cosseno de um ângulo:
cosseno de um ângulo = cateto adjacente / hipotenusa
cos 60º = x / 26 (Note que cos 60º = 1/2.)
1/2 = x / 26 (Realiza-se a multiplicação cruzada.)
2 . x = 1 . 26 =>
2x = 26 =>
x = 26/2 (Dividem-se 26 e 2 por 2, que é o máximo divisor entre eles.)
x = 26(:2)/2(:2) =>
x = 13/1 =>
x = 13 cm
_________________________________________
b)Nota-se que neste triângulo retângulo foram indicados:
-cateto horizontal: x (Observação: este cateto é adjacente ao ângulo fornecido.)
-ângulo entre o cateto horizontal x e a hipotenusa: 30º
-cateto horizontal: 16 cm (Observação: este cateto é oposto ao ângulo fornecido.)
=>Dos dados acima, conclui-se que a medida correspondente a x pode ser calculada por meio da razão trigonométrica da tangente de um ângulo:
tangente de um ângulo = cateto oposto / cateto adjacente
tg 30º = 16 / x (Note que tg 30º = √3/3.)
√3/3 = 16 / x (Realizando-se a multiplicação cruzada.)
√3 . x = 3 . 16 =>
√3x = 48 =>
x = 48/√3 (Racionalizando-se o denominador.)
x = 48.√3/√3.√3 =>
x = 48.√3/3 (Simplificação: dividem-se 48 e 3 por 3, que é o máximo divisor entre eles.)
x = 48(:3) . √3 / 3(:3) =>
x = 16√3 cm
_______________________________________
c)Nota-se que neste triângulo retângulo foram indicados:
-hipotenusa: 22 cm;
-cateto vertical: x (Observação: este cateto é oposto ao ângulo fornecido.)
-ângulo entre a hipotenusa e o cateto horizontal: 45º
=>Dos dados acima, conclui-se que a medida correspondente a x pode ser calculada por meio da razão trigonométrica do seno de um ângulo:
seno de um ângulo = cateto oposto / hipotenusa
sen 45º = x / 22 (Note que sen 45º = √2/2.)
√2/2 = x / 22 (Realizando-se a multiplicação cruzada.)
2 . x = √2 . 22 =>
2x = 22√2 =>
x = 22√2/2 (Simplificação: dividem-se 22 e 2 por 2, que é o máximo divisor entre eles.)
x = 22(:2) . √2 / 2(:2) =>
x = 11√2 cm
___________________________________________
d)Nota-se que a figura é um quadrilátero (polígono de quatro lados), constituída, por sua vez de dois triângulos retângulos. O cálculo da incógnita x deverá ser realizado em duas etapas:
1ª ETAPA:
-Do triângulo retângulo 1 foram indicados:
-hipotenusa: 18 cm;
-cateto vertical: y (Observação: este cateto é oposto ao ângulo fornecido.)
-ângulo entre a hipotenusa e o cateto horizontal: 60º
=>Dos dados acima, conclui-se que a medida correspondente a y pode ser calculada por meio da razão trigonométrica do seno de um ângulo:
seno de um ângulo = cateto oposto / hipotenusa
sen 60º = y / 18 (Note que sen 60º = √3/2.)
√3/2 = y/18 (Realiza-se a multiplicação cruzada.)
2 . y = √3 . 18 =>
y = 18√3/2 =>
y = 18√3/2 (Simplificação: dividem-se 18 e 2 por 2, que é o máximo divisor entre eles.)
y = 18(:2) . √3 / 2(:2) =>
y = 9√3 cm
2ª ETAPA:
=>Do triângulo retângulo 2 foram indicados:
-cateto horizontal: x (Observação: este cateto é adjacente ao ângulo fornecido.)
-ângulo entre a hipotenusa e o cateto vertical: 30º
=>Acrescenta-se à lista do triângulo retângulo 2 o valor de sua hipotenusa, que será correspondente ao do cateto vertical y calculado na 1ª Etapa: 9√3cm.
=>Dos dados listados, conclui-se que a medida correspondente a x pode ser calculada por meio da razão trigonométrica do cosseno de um ângulo:
cosseno de um ângulo = cateto adjacente / hipotenusa
cos 30º = x / 26 (Note que cos 30º = √3/2.)
√3/2 = x/9√3 (Realiza-se a multiplicação cruzada.)
2 . x = 9 . √3 . √3 =>
2x = 9 . (√3)² =>
2x = 9 . 3 =>
x = 27/2 =>
x = 13,5 cm
Espero haver lhe ajudado e bons estudos!
A medida x em cada caso é:
a) x = 13 cm
b) x = 16√3 cm
c) x = 11√2 cm
d) x = 13,5 cm
Explicação:
a) Nessa figura, x corresponde à medida do cateto adjacente a 60°. Como é dada a medida da hipotenusa (26 cm), utilizaremos a razão trigonométrica cosseno.
cosseno θ = cateto adjacente
hipotenusa
cos 60° = x
26
1 = x
2 26
x = 26
2
x = 13 cm
b) Nessa figura, x corresponde à medida do cateto adjacente a 30°. Como é dada a medida do cateto oposto a esse ângulo (16 cm), utilizaremos a razão trigonométrica tangente.
tangente θ = cateto oposto
cateto adjacente
tg 30° = 16
x
√3 = 16
3 x
√3·x = 3·16
√3·x = 48
x = 48
√3
x = 48√3
3
x = 16√3 cm
c) Nessa figura, x corresponde à medida do cateto oposto a 45°. Como é dada a medida da hipotenusa (22 cm), utilizaremos a razão trigonométrica seno.
seno θ = cateto oposto
hipotenusa
sen 45° = x
22
√2 = x
2 22
2·x = 22·√2
x = 22√2
2
x = 11√2 cm
d) Cálculo da medida do cateto oposto a 60°:
seno θ = cateto oposto
hipotenusa
sen 60° = y
18
√3 = y
2 18
2·y = 18·√3
y = 18√3
2
y = 9√3 cm
Na figura, x corresponde à medida do cateto adjacente a 30°. Como y é a medida da hipotenusa, utilizaremos a razão trigonométrica cosseno.
cos 30° = x
9√3
√3 = x
2 9√3
2·x = √3·9√3
2·x = 9·3
2·x = 27
x = 27
2
x = 13,5 cm
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