28228 1. (UFC-CE) Um triângulo com vértices A, B e C tem comprimentos de la- dos AB = 8, BC = 11 e CA = 15 (em unidade de comprimento). Para cada vértice, traça-se uma circunferência com centro no vértice, de modo que as três circunferências traçadas são tangentes entre si (como na figura). Calcule os raios das circunferências. B
Soluções para a tarefa
Os raios destas circunferências são 2, 5 e 6.
Para realizar este exercício vamos fazer uma análise geométrica.
Relacionando os centros e os raios das circunferências
De acordo com os dados do enunciado sabemos que devido às circunferências serem tangentes então os seus centros, tomados de dois a dois, estarão alinhados de forma que a distância de cada centro até o ponto de tangência será exatamente o raio daquela circunferência.
Sabemos também que a distância do centro de uma circunferência até o centro de outra circunferência será exatamente um dos lados do triângulo, já que o ponto de tangência se encontra sobre um dos lados do triângulo.
Modelando o problema
- x: raio da circunferência de centro em A
- y: raio da circunferência de centro em B
- z: raio da circunferência de centro em C
- Para o lado AB do triângulo temos: x + y = 8
- Para o lado AC do triângulo temos: x + z = 15
- Para o lado BC do triângulo temos: y + z = 11
Sistema de equações
Temos, desta forma, três equações e três variáveis. Pela simplicidade do sistema vamos resolvê-lo isolando e substitutindo:
De 3. obtemos que z = 11 - y;
De 3. em 2. obtemos que x + 11 - y = 15, daonde remanejamos para x = 4 + y;
De 2. em 1. obtemos que 4 + y + y = 8, daonde obtemos que y = 2;
De 2. concluímos que x = 6;
De 3. concluímos que z = 5.
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