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ATIVIDADES
1 — Numa urna são colocadas 20 fichas numeradas de 1 a 20. Escolhendo ao acaso uma dessas fichas,
qual é a probabilidade de que o número nela escrito seja um primo ou ímpar?
2 — Numa escola foi realizada uma pesquisa sobre a preferência de seus alunos em relação aos espor-
tes futebol e voleibol, para realização de torneios.
Ao final da pesquisa, os dados coletados foram organizados de acordo com a tabela a seguir.
Número de alunos
que preferem futebol
Número de alunos
que preferem voleibol
Número de alunos que não
preferem nenhuma das opções
275 210 84
Como incentivo pela participação na pesquisa, a escola dará um prêmio a um, dentre os 420 alunos
que responderam à enquete. Para isso, o aluno será sorteado ao acaso.
Qual é a probabilidade de que o aluno sorteado:
a) tenha optado por ambos os esportes?
b) tenha optado, apenas, por voleibol?
3 — Para analisar o desempenho de um método diagnóstico, realizam-se estudos em populações con-
tendo pacientes sadios e doentes. Quatro situações distintas podem acontecer nesse contexto
de teste:
a) Paciente TEM a doença e o resultado do teste é POSITIVO.
b) Paciente TEM a doença e o resultado do teste é NEGATIVO.
c) Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do teste é POSITIVO.
d) Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do teste é NEGATIVO.
Um índice de desempenho para avaliação de um teste diagnóstico é a sensibilidade, definida como
a probabilidade de o resultado do teste ser POSITIVO, se o paciente estiver com a doença.
O quadro abaixo refere-se a um teste diagnóstico para a doença A, aplicado em uma amostra com-
posta por duzentos indivíduos.
Resultado
do teste
Doença A
Presente Ausente
Positivo 95 15
Negativo 5 85
BENSEÑOR, I. M.; LOTUFO, P. A. Epidemiologia: abordagem prática.
São Paulo: Sarvier, 2011 (adaptado).
Conforme o quadro do teste proposto, a sensibilidade dele é de:
a) 47,5%.
b) 85,0%.
c) 86,3%.
d) 94,4%.
e) 95,0%.
Soluções para a tarefa
A probabilidade de que o número escrito na ficha sorteada seja um primo ou ímpar é 11/20.
QUESTÃO 1
Dos números de 1 a 20, os primos são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19. Os números ímpares são 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 e 19. Queremos calcular a probabilidade de um número sorteado ser primo ou ímpar, logo, neste grupo, são todos os 10 números ímpares mais o número 2 (que é primo), portanto:
P = 11/20
QUESTÃO 2
Sabemos que o conjunto F tem 275 alunos que preferem futebol e o conjunto V tem 210 alunos que preferem voleibol. Também, sabemos que 84 não preferem nenhum esporte e o total de alunos é 420, então, o número de alunos que tem alguma preferência é 420 - 84 = 336.
a) A união dos conjuntos F e V contém a seguinte quantidade de elementos:
n(F∪V) = n(F) + n(V) - n(F∩V)
336 = 275 + 210 - n(F∩V)
n(F∩V) = 485 - 336
n(F∩V) = 149
149 alunos optaram os dois esportes.
b) O número de alunos que optaram apenas por voleibol é a diferença entre o número de alunos do conjunto V com o resultado anterior:
V = 210 - 149
V = 61 alunos optaram apenas por voleibol.
QUESTÃO 3
O enunciado diz que a sensibilidade do teste diagnóstico é a probabilidade do resultado ser positivo se o paciente estiver com a doença, assim, temos que verificar no quadro a quantidade de casos onde o teste foi positivo e a quantidade de pacientes que tinham a doença.
No quadrado, vemos que existem 100 casos da doença onde o teste apresentou resultado positivo em 95 deles, logo, a sensibilidade do teste é:
P = 95/100 = 95%
Resposta: E
(1) A probabilidade é de 55%.
(2)
a) 149 alunos optaram por ambos os esportes.
b) 61 alunos optaram apenas por voleibol.
(3) A sensibilidade do teste é de 95% (Alternativa E).
Em matemática, um número é dito primo quando só tem dois divisores: o 1 e ele mesmo. Dentre os números de 1 a 20, tem-se os seguintes números primos: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19.
Por outro lado, um número impar é aquele que não é divisível por dois. Dentre os números de 1 a 20, são ímpares os seguintes números: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.
A fim de calcular a probabilidade de escolher ao acaso um dos números primos ou ímpares, deve-se contar quantos atendem a essa condição. São eles:
1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 (11 números)
Dado que a probabilidade é calculada pela razão entre o número de casos favoráveis e possíveis, tem-se:
P = 11 / 20 = 0,55 = 55%
(2) Seja F o conjunto daqueles que gostam de futebol e V dos que gostam de vôlei. A questão traz que o conjunto F tem 275 elementos e o conjunto V tem 210.
Sabe-se, ainda, que 84 não preferem nenhum esporte e o total de alunos é 420. Com isso, o número de alunos que tem alguma preferência é 420 - 84 = 336.
(a) O número de elementos da união dos conjuntos F e V pode então ser dado por:
n(F∪V) = n(F) + n(V) - n(F∩V)
336 = 275 + 210 - n(F∩V)
n(F∩V) = 485 - 336
n(F∩V) = 149
Logo, 149 alunos optaram os dois esportes.
(b) O número de alunos que optaram apenas por voleibol é a diferença entre o número de alunos do conjunto V e o número de elementos da interseção dos conjuntos F e V:
V = 210 - n(F∩V)
V = 210 - 149
V = 61
Assim, 61 alunos optaram apenas por voleibol.
(3) O texto diz que a sensibilidade do teste diagnóstico é a probabilidade do resultado ser positivo se o paciente estiver com a doença.
Desse modo, temos que averiguar no quadro a quantidade de casos onde o teste foi positivo e a quantidade de pacientes que tinham a doença.
Feito isto, vemos que existem 100 casos da doença onde o teste apresentou resultado positivo em 95 deles, logo, a sensibilidade do teste é:
P = 95/100 = 95% (Alternativa E)
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