Question

28. A equação de demanda de um bem é dada por , onde p é o preço e x a quantidade e é o custo. Pede-se:
a) A função receita e o gráfico;
Rt = 10x –x²
b) A função lucro e gráfico;
Lt = -x² + 8x - 20
c) O valor de x que maximiza a receita;
d) O valor de x que maximiza o lucro.

Olá, podem me ajudar?

As questões A e B, eu já desenvolvi. Tenho dúvidas na letra C e D.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Anacecília, como você complementou a questão, vamos dar a nossa resposta.
Tem-se:
A equação de demanda e de custo de um bem é dada por, respectivamente:

p(x)  = 10-x , onde" "p é o preço e "x" a quantidade;
e
C(x) = 2x+20, sendo "x" a quantidade produzida

i) Com base nas informações acima, são pedidos:

a) A função receita e o seu  gráfico;

Veja: a função receita será dada pelo preço "p" vezes a quantidade "x" produzida e vendida. Então teremos para a função receita:

R(x) = (10-x)**x
R(x) = 10x - x² --- ou apenas, o que é a mesma coisa:
R(x) = - x² + 10x <---- Esta é a resposta para o item "a".


b) A função lucro e o seu gráfico;

Veja: a função lucro será dada pela função receita menos a função custo. Então teremos para a função lucro:

L(x) = R(x) - C(x) ---- substituindo-se por suas representações, teremos:
L(x) = -x² + 10x - (2x + 20) ---- retirando-se os parênteses, teremos:
L(x) = - x² + 10x - 2x - 20 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
L(x) = - x² + 8x - 20 <--- Esta é a resposta para a questão "b".

c) O valor de x que maximiza a receita;

Veja: para isso, basta que você encontre o "x" do vértice da parábola.
Como a função receita é esta: R(x) = - x² + 10x , então o "x" do vértice (xv) será dado por:

xv = -b/2a ---- substituindo-se "b" por "10" e "a' por "-1", teremos:
xv = -10/2*(-1)
xv = -10/-2 ---- ou, o que é a mesma coisa (na divisão, menos com menos dá mais):

xv = 10/2
xv = 5 unidades <--- Esta é a resposta para a questão "c". Ou seja, esta é a quantidade produzida e vendida que maximiza a receita.


d) O valor de x que maximiza o lucro.

Veja: como a função lucro é esta: L(x) = - x² + 8x - 20, então basta, novamente, aplicar a fórmula do "x" do vértice (xv), que é esta:

xv = -b/2a ---- substituindo-se "x" por "8" e "a" por "-1", teremos;
xv = -8/2*(-1)
xv = -8/-2 ---- ou, o que é a mesma coisa (na divisão, menos com menos dá mais):

xv = 8/2
xv = 4 unidades <--- Esta é a resposta para a questão "d". Ou seja, a quantidade que maximiza a função lucro será de 4 unidades.

ii) Agora, finalmente, vamos construir os gráficos da função receita e da função lucro. Como aqui no Brainly eu não sei como construir gráficos, então veja o gráfico de cada uma delas no endereço abaixo.

ii.a) Gráfico da função receita: R(x) = - x² + 10x

http://www.wolframalpha.com/input/?i=R(x)+%3D+-+x%C2%B2+%2B+10x

ii.b) Gráifco da função lucro: L(x) = - x² + 8x - 20

http://www.wolframalpha.com/input/?i=L(x)+%3D+-+x%C2%B2+%2B+8x+-+20

1ª observação: em ambos os gráficos, fixe-se no primeiro gráfico, pois pelo fato de ter uma escala maior fica melhor de ver em ambos os casos.

2ª observação: queremos crer que seria mais consentâneo que a função custo fosse esta:: C(x) = 2x - 20, pois, na hora em que fôssemos encontrar a função lucro, teríamos: L(x) = R(x) - C(x), ou:
L(x) = -x² + 10x - (2x - 20)
L(x) = -x² + 10x - 2x + 20
L(x) = -x² + 8x + 20 <---- Seria mais consentâneo para a função lucro ser esta, pois: para x = 4 unidades (que maximiza o lucro), iríamos ter um valor para L(x) de "24" positivo. E, se fôssemos considerar "-20" iríamos ter um valor para L(x) de "-4" negativo. Por isso é que consideramos mais consentâneo que a função custo seja C(x) = 2x - 20 [e não C(x) = 2x + 20].

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.