Question

27 esferas maciças de chumbo , de raio 1 metro devem ser acondicionados em uma unica caixa , apos o que todo o "espaço " restante da caixa deve ser completdo com agua.
dispondo-se somente de cinco caixas cúbicas distintas, aquela na qual o volume de agua adicionado é minimo é a de capacidade, em metros cúbicos,igual a :
informações: largura da caixa é igual a 6 m

Answer 1

O volume de água adicionado à caixa cúbica será mínimo se as esferas em seu interior forem tangentes às suas faces mais próximas.

Nesse caso, o lado x do cubo será seis vezes o raio R da esfera, pois seus centros são colineares.

E como o enunciado diz que a largura da caixa é 6, temos que:

$\displaystyle 6R = 6 \Rightarrow R = \frac{ 6 }{6} \Rightarrow R = 1 \, \, m$

Uma vez com o raio de uma esfera, podemos descobrir seu volume V, que é expresso pela fórmula:

$\displaystyle V = \frac{ 4 \pi R^3 }{ 3}$

$\displaystyle V = \frac{ 4 \pi 1^3 }{ 3}$

$\displaystyle V = \frac{ 4 \pi }{ 3}$

O volume de água V'' na caixa com as 27 esferas será a diferença entre o volume V' da caixa e o volume V de uma esfera vezes 27.

$\displaystyle V'' = V' - 27 \cdot V$

$\displaystyle V'' = 6^3 - 27 \cdot \frac{ 4 \pi }{ 3}$

$\displaystyle V'' = 216 - 9 \cdot 4 \pi$

$\displaystyle V'' = 216 - 36 \pi$

$\displaystyle V'' \approx 103 \, \, m^3$

---------------------------