Question

(25 PONTOS) EXERCÍCIO DE ARITMÉTICA:

Se a ≡ b (mod m) e c ≡ d (mod m) entao:

1 ) a + c ≡ b + d
2) a - c ≡ b - d
3) ka ≡ kb (mod m) ∀ k ∈ Z
4) ac ≡ bd (mod m)
5) aⁿ ≡ bⁿ (mod m) ∀ n ∈ IN
6) Se mdc (k, m) = d entao ka ≡ kb (mod m) ⇔ a ≡ b (mod m/d)

Considerem todas os items acima verdade, demostre o item 6.

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Answer 1

--> Se ka == kb (mod m), então ka - kb = nm para algum inteiro n. k = k'd e m = m'd, ou seja, m' = m/d. Então:

k(a - b) = nm
k'd(a - b) = nm'd
k'(a - b) = nm'

Como mdc (k', m') = 1, então m' | a - b, ou seja, a == b (mod m').

<-- Suponha agora que a == b (mod m'). Então:

a - b = nm'
k(a - b) = nm'k = nm'k'd = nk'm
ka - kb = nk'm

Ou seja, ka == kb (mod m).

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bom dia, espero ter ajudado !!