Question

24 PONTOS
Geometria Analítica - com explicaçoes

Answer 1

Seja $\pi$ um plano que passa pelo ponto $A=(x_{0},\;y_{0},\;z_{0})$ dado pela seguinte equação geral:

$\pi:~a\,(x-x_{0})+b\,(y-y_{0})+c\,(z-z_{0})=0~~~~~~\mathbf{(i)}$

sendo $a,\;b,\;c$ constantes reais, não todas nulas (isto é, desconsidere o caso em que $a=b=c=0$).


Podemos enxergar a equação geral de $\pi$ como o produto escalar entre dois vetores:

$\pi:~(a,\;b,\;c)\cdot (x-x_{0},\;y-y_{0},\;z-z_{0})=0\\ \\ \pi:~(a,\;b,\;c)\cdot [(x,\;y,\;z)-(x_{0},\;y_{0},\;z_{0})]=0\\ \\ \pi:~(a,\;b,\;c)\cdot [X-A]=0\\ \\ \pi:~(a,\;b,\;c)\cdot \overrightarrow{AX}=0~~~~~~\mathbf{(ii)}$

sendo $X=(x,\;y,\;z)$ um ponto genérico do plano $\pi,$ temos que $\overrightarrow{AX}$ é um vetor genérico de $\pi.$
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Sabemos que se o produto escalar entre dois vetores é zero, então esses dois vetores são ortogonais entre si.

Analisando $\mathbf{(ii)},$ concluímos que

$\overrightarrow{\mathbf{n}}=(a,\;b,\;c)$ é ortogonal a qualquer vetor do plano $\pi.$ Logo, $\overrightarrow{\mathbf{n}}$ é chamado vetor normal ao plano $\pi.$

(obs: qualquer vetor não-nulo paralelo a $\overrightarrow{\mathbf{n}}$ também será um vetor normal a $\pi$)
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a) Tomemos

$\overrightarrow{\mathbf{w}}=\overrightarrow{AB}\\ \\ \overrightarrow{\mathbf{w}}=(0,\;-2,\;-1).$

Dessa forma, $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ é um vetor de $\pi.$

Para encontrar o vetor normal, podemos calcular o produto vetorial de $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ por $\overrightarrow{\mathbf{w}}.$

(o produto vetorial resulta em um vetor que é ortogonal aos dois vetores multiplicados)

$\overrightarrow{\mathbf{v}}\times \overrightarrow{\mathbf{w}}=\det\left[\begin{array}{ccc} \overrightarrow{\mathbf{i}}&\overrightarrow{\mathbf{j}}&\overrightarrow{\mathbf{k}}\\ 2&1&0\\ 0&-2&-1 \end{array} \right ]\\ \\ \\ =[1\cdot (-1)-(-2)\cdot 0]\overrightarrow{\mathbf{i}}+[0\cdot 0-(-1)\cdot 2]\overrightarrow{\mathbf{j}}+[2\cdot (-2)-0\cdot 1]\overrightarrow{\mathbf{k}}\\ \\ =[-1+0]\overrightarrow{\mathbf{i}}+[0+2]\overrightarrow{\mathbf{j}}+[-4-0]\overrightarrow{\mathbf{k}}\\ \\ =(-1,\;2,\;-4)$


Tomemos $\overrightarrow{\mathbf{n}}=(-1,\;2,\;-4).$ Como $A$ é um ponto do plano, temos a equação geral:

$\pi:~\overrightarrow{\mathbf{n}}\cdot \overrightarrow{AX}=0\\ \\ \pi:~(-1,\;2,\;-4)\cdot (x-1,\;y-1,\;z-0)=0\\ \\ \pi:-(x-1)+2(y-1)-4(z-0)=0\\ \\ \boxed{\pi:-x+2y-4z-1=0}$


b) $\overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{AB}=(-1,\;1,\;-2)$

$\overrightarrow{\mathbf{w}}=\overrightarrow{CD}=(-1,\;-1,\;-1)$


Calculando o produto vetorial:

$\overrightarrow{\mathbf{v}}\times \overrightarrow{\mathbf{w}}=\det\left[\begin{array}{ccc} \overrightarrow{\mathbf{i}}&\overrightarrow{\mathbf{j}}&\overrightarrow{\mathbf{k}}\\ -1&1&-2\\ -1&-1&-1 \end{array}\right]\\ \\ \\ =-3\overrightarrow{\mathbf{i}}+1\overrightarrow{\mathbf{j}}+2\overrightarrow{\mathbf{k}}\\ \\ =(-3,\;1,\;2)$


Tomando como vetor normal $\overrightarrow{\mathbf{n}}=(-3,\;1,\;2)$ e o ponto $B,$ a equação geral de $\pi$ é

$\pi:~\overrightarrow{\mathbf{n}}\cdot \overrightarrow{BX}=0\\ \\ \pi:~(-3,\;1,\;2)\cdot (x-0,\;y-1,\;z+1)=0\\ \\ -3(x-0)+1(y-1)+2(z+1)=0\\ \\ \boxed{\pi:~-3x+y+2z+1=0}$


c) $\overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{AB}=(1,\;1,\;-2)$

$\overrightarrow{\mathbf{w}}=\overrightarrow{AC}=(0,\;-1,\;-1)$


Calculando o produto vetorial:

$\overrightarrow{\mathbf{v}}\times \overrightarrow{\mathbf{w}}=\det\left[\begin{array}{ccc} \overrightarrow{\mathbf{i}}&\overrightarrow{\mathbf{j}}&\overrightarrow{\mathbf{k}}\\ 1&1&-2\\ 0&-1&-1 \end{array} \right ]\\ \\ \\ =-3\overrightarrow{\mathbf{i}}+1\overrightarrow{\mathbf{j}}+(-1)\overrightarrow{\mathbf{k}}\\ \\ =(-3,\;1,\;-1)$


Tomando como vetor normal $\overrightarrow{\mathbf{n}}=(-3,\;1,\;-1)$ e o ponto $A,$ a equação geral de $\pi$ é

$\pi:~\overrightarrow{\mathbf{n}}\cdot \overrightarrow{AX}=0\\ \\ \pi:~(-3,\;1,\;-1)\cdot (x-1,\;y-0,\;z-1)=0\\ \\ \pi:-3(x-1)+1(y-0)-1(z-1)=0\\ \\ \boxed{\pi:-3x+y-z+4=0}$