Question

23)Determine o valor de p para que a equação x² – 4x + p = 0 tenha:

a) raízes reais diferentes.
b) raízes reais e iguais​

Answer 1

Veja a equação dada pela questão:

x² – 4x + p = 0

Seus coeficientes são: a = 1, b = – 4 e c = p

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Antes de tudo vamos calcular o delta (dado pela fórmula: ∆ = b² – 4ac):

$\begin{array}{l}\\\sf \Delta=b^2-4ac\\\\\sf \Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot(p)\\\\\!\boxed{\sf \Delta=16-4p}\\\\\end{array}$

Agora, devemos determinar p de acordo com o que cada alternativa pede:

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Letra A)

Veja o que diz esta regra do delta:

$\small\begin{array}{l}\\~~~\bullet~ \: \: \sf Se~\:\Delta > 0~\to~x'~e~\:x''\!\in\mathbb{R},~\:com\:~x'\,\neq\, x''\\\\\end{array}$

Ou seja, se o delta for maior que zero, a equação admite duas raízes reais e diferentes. Logo:

$\begin{array}{l}\\ \sf\Rightarrow~~\Delta > 0:\\\\\sf 16-4p > 0\\\\\sf -4p > -16\\\\\sf 4p < 16\\\\\sf p < \dfrac{16}{4} \\\\\!\boxed{\sf p < 4}\\\\\end{array}$

RESPOSTA: p < 4

Ou seja, p deve ser menor que 4 para que a equação tenha raízes reais e diferentes

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Letra B)

Veja o que diz esta regra do delta:

$\small\begin{array}{l}\\~~~\bullet~ \: \: \sf Se~\:\Delta = 0~\to~x'~e~\:x''\!\in\mathbb{R},~\:com\:~x' =x''\\\\\end{array}$

Ou seja, se o delta for igual a zero, a equação admite duas raízes reais e iguais. Logo:

$\begin{array}{l}\\\sf \Rightarrow~~\Delta = 0:\\\\\sf 16-4p = 0\\\\\sf -4p = -16\\\\\sf 4p =16\\\\\sf p = \dfrac{16}{4} \\\\\!\boxed{\sf p = 4}\\\\\end{array}$

RESPOSTA: p = 4

Ou seja, p deve ser igual a 4 para que a equação tenha raízes reais e iguais

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Att. Nasgovaskov