Question

23. A função f é tal que

f x y f x f y ( + =  ) ( ) ( )

e

f (1 2 ) =

. Qual é o valor de

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 3 2021

1 2 2020

f f f

f f f

+ + +

?

(A) 0 (B)

1

2

(C) 2 (D) 2020 (E) nenhum dos anteriores

Answer 1

Resposta: (E) nenhum dos anteriores

Explicação passo-a-passo:

Questões nesse estilo, onde são entregues cálculos nitidamente muito longos, são geralmente resolvidas utilizando algum artifício como “macete”.

É dado que f(1) = 2 , o que já nos entrega o denominador da primeira razão da expressão apresentada, de modo que:

$\frac{f(2)}{f(1)} = \frac{f(2)}{2}$

Dada a fórmula f(x + y) = f(x) . f(y), podemos aplicar o valor de f(1) nela de modo que:

f(1 + 1) = f(1) . f(1)  

f(2) = 2 . 2

f(2) = 4

Assim, temos que:

$\frac{f(2)}{f(1)} = \frac{4}{2} = 2$

Agora, sabendo o valor de f(2), podemos descobrir o valor da segunda razão, utilizando, novamente, a fórmula para descobrir o valor de f(3):

f(1 + 2) = f(1) . f(2)

f(3) = 2 . 4

f(3) = 8

Colocando na razão, temos:

$\frac{f(3)}{f(2)} = \frac{8}{4} = 2$

Repare que, aparentemente, temos um padrão, onde as duas primeiras razões que compõem a expressão valem 2. Fazendo mais um teste, agora, precisamos do valor de f(4):

f(2 + 2) = f(2) . f(2)

f(4) = 4 . 4

f(4) = 16

Colocando na razão:

$\frac{f(4)}{f(3)} = \frac{16}{8} = 2$

Dessa forma, não fica difícil perceber que todas as razões que compõem a expressão valem 2. Observando a expressão, percebe-se que o número de razões que compõe a expressão é igual ao número no denominador da última razão - no caso, $\frac{f(2021)}{f(2020)}$ , ou seja, a expressão apresenta 2020 termos.  

Portanto, se cada termo vale 2, podemos dizer que 2020 termos equivalem a:

2 . 2020 = 4040

Alternativa (E) nenhum dos anteriores