Question

22) sejam as matrizes m=[¹ ² ¹ ⁴]²x² e n=[² -¹ p q]²x² sabendo que N e a matriz inversa de M, calcule [p+q]

Answer 1

Resposta:

Zero.

Explicação passo a passo:

Solução 1:

As matrizes são:

$M = \left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & 4 \\ \end{array} \right]$

E

$N = \left[\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ p & q \\ \end{array} \right]$

Existe uma propriedade válida apenas para matrizes de ordem 2 que diz o seguinte: se A é uma matriz dada por:

$A = \left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right]$

Então sua inversa é:

$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \cdot \left[\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \\ \end{array} \right]$

Sendo que:

$ad-bc \ne 0$

Aplicando isso:

$M^{-1} = \frac{1}{1\cdot 4 - 1 \cdot 2} \left[\begin{array}{cc} 4 & -2 \\ -1 & 1 \\ \end{array} \right] = \frac{1}{2} \cdot \left[\begin{array}{cc} 4 & -2 \\ -1 & 1 \\ \end{array} \right] = \left[\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \end{array} \right]$

Igualando a N:

$\left[\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \end{array} \right] = \left[\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ p & q \\ \end{array} \right]$

Ou seja:

$p+q = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Solução 2:

Se elas são inversas teremos:

$M \cdot N = I_2$

Ou seja, seu produto resulta na matriz identidade:

$\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & 4 \\ \end{array} \right] \cdot \left[\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ p & q \\ \end{array} \right] = \left[\begin{array}{cc} 2+2p & -1 + 2q \\ 2+4p & -1+4q \\ \end{array} \right] = \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right]$

Daí:

$-1+2q = 0 \Leftrightarrow q = \frac{1}{2}$

E

$2+4p = 0 \Leftrightarrow p = -\frac{1}{2}$

Ou seja:

$p+q = 0$

O mesmo que havíamos achado antes.