Matemática, perguntado por thiagao7, 5 meses atrás

22) sejam as matrizes m=[¹ ² ¹ ⁴]²x² e n=[² -¹ p q]²x² sabendo que N e a matriz inversa de M, calcule [p+q]

Soluções para a tarefa

Respondido por leonardosantosinf
6

Resposta:

Zero.

Explicação passo a passo:

Solução 1:

As matrizes são:

M = \left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & 4 \\ \end{array} \right]

E

N = \left[\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ p & q \\ \end{array} \right]

Existe uma propriedade válida apenas para matrizes de ordem 2 que diz o seguinte: se A é uma matriz dada por:

A = \left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right]

Então sua inversa é:

A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \cdot \left[\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \\ \end{array} \right]

Sendo que:

ad-bc \ne 0

Aplicando isso:

M^{-1} = \frac{1}{1\cdot 4 - 1 \cdot 2} \left[\begin{array}{cc} 4 & -2 \\ -1 & 1 \\ \end{array} \right] = \frac{1}{2} \cdot  \left[\begin{array}{cc} 4 & -2 \\ -1 & 1 \\ \end{array} \right] =  \left[\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \end{array} \right]

Igualando a N:

\left[\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \end{array} \right] =  \left[\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ p & q \\ \end{array} \right]

Ou seja:

p+q = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}

Solução 2:

Se elas são inversas teremos:

M \cdot N = I_2

Ou seja, seu produto resulta na matriz identidade:

\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & 4 \\ \end{array} \right] \cdot  \left[\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ p & q \\ \end{array} \right] =  \left[\begin{array}{cc} 2+2p & -1 + 2q \\ 2+4p & -1+4q \\ \end{array} \right] =  \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right]

Daí:

-1+2q = 0 \Leftrightarrow q = \frac{1}{2}

E

2+4p = 0 \Leftrightarrow p = -\frac{1}{2}

Ou seja:

p+q = 0

O mesmo que havíamos achado antes.


alinedasilvaramos915: Muito obrigada
leonardosantosinf: De nada.
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