Question

22. (IFPR) Um fractal é uma estrutura geométrica que se repete em qualquer escala. Unindo os pontos médios dos lados de um triângulo equilátero, obtemos outro triângulo equiláte- ro. Repetindo esse processo indefinidamen- te, determinamos um fractal bem simples, ilustrado na figura abaixo. Se começarmos a construção com um triangulo equilátero de lado de medida 8 unidades de comprimento, o limite para a soma dos perímetros dos triân- gulos equiláteros que compõem o fractal será, em unidades de comprimento, desativa a-48. b-45. c) 72. d) 46,5.​

Answer 1

Resposta:

48

Explicação passo a passo:

Considere primeiro o primeiro triângulo equilátero de lado 8. O perimetro dele é 8 + 8 + 8 = 3*8 = 24

O proximo triângulo dentro dele terá lado 8/2 = 4 (pois suas arestas sao do tamanho do ponto medio  do triangulo maior)

Entao o perimetro é 3 * 8/2 = 3* 4 = 12

O proximo triângulo menor terá lado 4/2 = 2 ( repare que 4/2 pode ser escrito como $8/2^2$)

Entao o perimetro é 3 *  $8/2^2$ = 3 * 2 = 6

De forma geral, a soma dos perimetros dos triangulos é dada por

$3*8 + 3*4 + 3*2 + 3*1 + 3*\frac{1}{2}\\\\3* \frac{8}{2^0} + 3 *\frac{8}{2^1} + 3 *\frac{8}{2^2} + ...$

Ja que cada triangulo menor divide por 2 o lado original, que é 8.

E multiplicamos o lado por 3, pois o perimetro do triangulo é 3*lado

Isso é a soma de uma PG infinita, cuja formula é

$S_\infty = \frac{a_1}{1 - q}, q = 1/2, a_1 = 24$    EQUAÇAO 1

q = 1/2 pois cada vez que diminuimos o triângulo, multiplicamos o perimetro por 1/2.

a1 = 24 porque o primeiro termo da PG é 24

Substituindo os valores mencionados na EQUAÇAO 1:

$S_\infty = \frac{24}{1 - \frac{1}{2}}\\\\= \frac{24}{\frac{1}{2}}\\=24\cdot 2\\= 48$