Question

22. Considere a matriz A = [3 -1] e uma matriz B = [bij]. Se A.B.A = A, então é
correto afirmar que, na matriz B:
(A) b21 = 3b11
(B) b21 = -1 + 3b11
(C) b12 = 1 + 3b11
(D) b11 = 1 + 3b12

Answer 1

O enunciado nos garante que as operações A.B  e  B.A são possíveis, logo podemos afirmar que:

$\rightarrow~Se~A.B~\acute{e}~possivel,~entao~a~quantidade~de~linhas~de~B~\acute{e}~igual~a\\quantidade~de~colunas~de~A,~ou~seja,~B~possui~2~linhas.\\\\\rightarrow~Se~B.A~\acute{e}~possivel,~entao~a~quantidade~de~colunas~de~B~\acute{e}~igual~a\\quantidade~de~linhas~de~A,~ou~seja,~B~possui~1~coluna.$

A matriz B pode, então, ser representada da seguinte forma:

$B~=~\left[\begin{array}{ccc}b_{11}\\b_{21}\end{array}\right]$

Isto já nos permite ignorar as alternativas (c) e (d), porque B não possui o elemento b12.

Vamos então realizar a operação de multiplicação do enunciado:

$A.B.A~=~A\\\\\\(A.B).A~=~A\\\\\\\left(\left[\begin{array}{ccc}3&-1\end{array}\right].\left[\begin{array}{ccc}b_{11}\\b_{21}\end{array}\right]\right).\left[\begin{array}{ccc}3&-1\end{array}\right]~=~\left[\begin{array}{ccc}3&-1\end{array}\right]\\\\\\\left[\begin{array}{ccc}3~.~b_{11}~-~1~.~b_{21}\end{array}\right].\left[\begin{array}{ccc}3&-1\end{array}\right]~=~\left[\begin{array}{ccc}3&-1\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}3b_{11}-b_{21}\end{array}\right].\left[\begin{array}{ccc}3&-1\end{array}\right]~=~\left[\begin{array}{ccc}3&-1\end{array}\right]\\\\\\\left[\begin{array}{ccc}3.(3b_{11}-b_{21})&-1.(b_{11}-b_{21})\end{array}\right]~=~\left[\begin{array}{ccc}3&-1\end{array}\right]\\\\\\\left[\begin{array}{ccc}9b_{11}-3b_{21}&-b_{11}+b_{21}\end{array}\right]~=~\left[\begin{array}{ccc}3&-1\end{array}\right]\\\\\\A~igualdade~pode~ser~traduzida~no~sistema:$

$\left \{ {{9b_{11}-3b_{21}~=~3} ~~~~\rightarrow Simplificando~por~3\atop {-b_{11}+b_{21}~=~-1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\,\,}} \right. \\\\\\\left \{ {{3b_{11}-b_{21}~=~1}\atop {-b_{11}+b_{21}~=~-1}} \right. \\\\\\Podemos~reescrever~"3b_{11}-b_{21}~=~1"~para~se~adequar~as~alternativas,\\ficando~com:\\\\3b_{11}~=~1+b_{21}$

$\\\\\boxed{b_{21}~=~-1+3b_{11}}$

Resposta: Letra (b)