Question

22. A prefeitura de uma cidade organizará um
torneio de futebol com n equipes. Nesse torneio, cada
equipe enfrentará todas as demais uma única vez.
Para calcular o número total de jogos que serão
disputados, os organizadores usarão a fórmula
n(n-1)/2. Se, no torneio, forem disputados um total de
(3n+4) jogos, o valor de né igual a:

A) 11
B) 10
C)9
D) 8​

Answer 1

A quantidade n de equipes é 8.

Use o método de soma e produto de raízes para soluciona a equação do segundo grau.

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• Para calcular a quantidade total de jogos os organizadores usarão a fórmula n(n − 1)/2 e a quantidade total de jogos é 3n + 4 então essas duas expressões devem ser iguais.

$\large \sf \dfrac{n(n-1)}{2} = 3n + 4$  ⟹ Multiplique ambos os membros por dois.

n (n − 1) = 2(3n + 4) ⟹ Execute a operação distributiva da multiplicação.

n² − n = 6n + 8 ⟹ Subtraia 6n + 8 de ambos os membros.

n² − n − 6n − 8 = 0 ⟹ Reduza os termos semelhantes.

n² − 7n − 8 = 0 ⟹ Solucione por soma e produtos de raízes.

• Sendo o coeficiente de n² igual a 1, pode-se resolver essa equação do segundo grau por "soma e produto de raízes" usando a fórmula:

n² − S·n + P = 0

onde:

S: soma das duas raízes e

P: produto das duas raízes.

• Compare a equação com a fórmula:

n² − 7n − 8 = 0

n² − S·n + P = 0

• Por comparação:

−S⋅n = −7n ⇒ S = 7

+P = −8 ⇒ P = −8

• Encontre dois números (as raízes que são a solução dessa equação) que somados resulta 7 e multiplicados resulta −8.

Se a soma é positiva então o número maior é positivo.

Os pares de números cujo produto é −8 são:

−1 e 8 ⇒ S = 7 e P = −8 (Serve)

• Através de cálculo mental: os dois números são −1 e 8. Escreva o conjunto solução.

S = {−1, 8}

• Observe que a resposta −1 deve ser descartada pois a quantidade de jogos não pode ser negativa, portanto:

A quantidade (n) de equipes é 8.

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