Question

21x−12y = 72; equação diofantinos

Answer 1

As soluções inteiras dessa equação diofantina são:

$\\ \boldsymbol{\blue{S=\big\{( -24 -4k,-48-7k)\big\},~com~k\in\mathbb{Z}}}$

Solução:

A equação diofantina 21x - 12y = 72 tem uma grande complexidade para resolver, pois a olho nu é quase impossível encontrar uma combinação de inteiros que ao substituir "x" e "y" torne verdadeira a igualdade de nossa equação, portanto, que encontrar apenas uma solução particular para nossa equação diofantina será bastante complexo, portanto devemos procurar outra maneira de resolver o problema.

Primeiramente, devemos verificar se a equação diofantina tem solução, para verificar se a equação diofantina tem solução, o máximo divisor comum dos termos $a$ e $b$ deve dividir o termo independente $c$ onde "$a$" e “$b$” são os coeficientes de ax + by = c.

Para calcular o máximo divisor comum entre a e b devemos usar o método do Algoritmo de Euclides (divisões sucessivas com quociente e resto).

• Extra: O número -12 não é levado em consideração, pois é um número negativo, portanto, levaremos em consideração sua contraparte positiva (valor absoluto).

Ao dividir o número 21 por 12 na calculadora podemos ver que esta divisão é inexata pois o resultado que obtemos é 1,75 não vamos levar em conta o 0,75 pois apenas 1 é levado em conta, se multiplicarmos o menor número que é 12 por 1 obtemos 12 e subtraindo o resultado pelo número 21 obtemos 9 como resultado, o resultado dessa subtração é o resto da divisão, portanto temos:

$\qquad 21 = 12\cdot 1 +9\qquad \rm(I)$

Vamos dividir o número 12 por 9, realizando esta operação em uma calculadora vamos obter como resultado aproximado o número 1,33 novamente fazemos o mesmo que fizemos antes, portanto não levamos em consideração o 0,33 e multiplicamos o número 1 por 9, o resultado é igual a 9 e será subtraído do número 12 e você obterá 3 como resultado, este é o restante da divisão.

$\qquad 12= 9\cdot 1 +3\qquad\rm (II)$

Agora devemos dividir 9 por 3, essa operação é bem simples, você pode até fazer mentalmente se fizer essa divisão você obtém 3 como resultado e isso é óbvio já que 3x3 = 9 portanto a divisão é exata pois subtraindo 9 por 9 você obter 0. Portanto concluímos que o máximo divisor comum entre 12 e 21 é 3 agora verificando se 72 é divisível por 3 obteremos como resultado 24 portanto é uma divisão exata e assim concluímos que a equação diofantina tem solução.

Se uma equação diofantina tem uma solução, ela necessariamente tem infinitas soluções e todas são da forma:

$S=\begin{cases}x = x_p + \dfrac{b}{d}k\\\\y=y_p-\dfrac{a}{d}k\end{cases}~,\forall k\in\mathbb{Z}$

Deve-se esclarecer que "d" é o máximo divisor comum entre "a" e "b" enquanto $x_p$ e $y_p$ é a solução particular da equação diofantina. As soluções particulares são únicas, portanto, nossa equação diofantina tem apenas uma solução particular.

Para encontrar a solução particular de uma equação diofantina, deve-se aplicar a identidade de Bézout, a identidade de Bézout ou é um teorema elementar das teorias dos números que afirma que se a e b são inteiros não nulos com máximo divisor comum d, então existem inteiros x e y tais que ax + by = d. Portanto, devemos resolver a seguinte equação para obter a solução particular de nossa equação diofantina:

$21x +12y=3\qquad \rm(III)$

Para encontrar as soluções da equação (III) vamos usar contra nós os resultados das expressões (I) e (II), primeiro vamos despejar o resto na expressão (II), desta forma temos:

$\qquad 12 - 9\times 1=3\\\\\\\\ 12 +9\cdot (-1)=3\qquad \rm(IV)$

Vamos a despejar o resto na expressão (I) e vamos substituí-lo na equação (IV) de tal forma que obtemos:

$21 - 12\cdot1=9\\\\\\\\ 21+12\cdot(-1)=9\\\\\\\\ Substituindo~em~\rm(IV):\\\\\\\\ 12 + \left[21 +12(-1)\right]\cdot (-1)=3\\\\\\\\ 12 +21\cdot(-1)+12 =3\\\\\\\\ 12\cdot 2+21\cdot (-1)=3\\\\\\\\21\cdot (-1)+12\cdot 2=3\qquad\rm(V)$

Observe que a equação (V) é idêntica à equação (III) apenas com a diferença de que os valores de "x" e "y" já estão calculados. Portanto temos que:

$21\cdot(-1) +12\cdot2=3\\\\\\\\21\cdot(-1)-12\cdot(-2)=3\qquad\rm(VI)$

Para encontrar a solução particular da nossa equação diofantina devemos multiplicar a equação (VI) por 3 já que 3x24=72 (ambas as partes devem ser multiplicadas para não alterar nossa igualdade). Portanto, podemos verificar que a solução particular da nossa equação diofantina é:

$21\cdot(-1)-12\cdot(-2)=3~(\times 24)\\\\\\\\21\cdot (-24) - 12(-48)=72$

As soluções particulares para nossa equação diofantina são -24 e -48. Portanto, todas as soluções para nossa equação diofantina são dadas pelas expressões:

$S=\begin{cases}x = -24 -\dfrac{12}{3}k\\\\y=-48-\dfrac{21}{3}k\end{cases}~~S=\begin{cases}x = -24 -4k\\\\y=-48-7k\end{cases}$

Todos os valores possíveis para x e y estão acima em função de k.