Question

21. Os catetos de um triângulo retângulo medem a
e b, e a hipotenusa, c. Sobre esses lados foram
construidos os semicirculos de áreas A1, A2, e A3.
Mostre que A1 + A2 = A3.


URGENTEEE​

Answer 1

Temos que:

• A1 é um semicírculo de diâmetro a (ou seja, raio $\frac{a}{2}$);

• A2 é um semicírculo de diâmetro b (ou seja, raio $\frac{b}{2}$);

• A3 é um semicírculo de diâmetro c (ou seja, raio $\frac{c}{2}$).

Sabendo o raio de cada semicírculo podemos calcular o valor de cada área:

$A_1 = \frac{\pi.r^2}{2} = \frac{\pi.(\frac{a}{2})^2}{2} \quad (1)\\A_2 = \frac{\pi.r^2}{2} = \frac{\pi.(\frac{b}{2}^2)}{2} \quad (2)\\A_3 = \frac{\pi.r^2}{2} = \frac{\pi.(\frac{c}{2})^2}{2} \quad (3)$

Pelo Teorema de Pitágoras, sabemos ser verdade que

$c^2 = a^2 + b^2 \quad (4)$

Substituindo (4) em (3), temos que

$A_3 = \frac{\pi.(\frac{c}{2})^2}{2} = \frac{\pi.(\frac{c^2}{4})}{2} = \frac{\pi.(\frac{a^2 + b^2}{4})}{2} \quad (5)$

Agora, realizando a operação $A_1 + A_2 = A_3$ obtemos:

$\frac{\pi.(\frac{a}{2})^2}{2} + \frac{\pi.(\frac{b}{2})^2}{2} = \frac{\pi.(\frac{a^2 + b^2}{4})}{2}\\\frac{2}{\pi}.(\frac{\pi.(\frac{a}{2})^2}{2} + \frac{\pi.(\frac{b}{2})^2}{2}) = \frac{2}{\pi}.(\frac{\pi.(\frac{a^2 + b^2}{4})}{2})\\(\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2 = \frac{a^2 + b^2}{4}\\\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} = \frac{a^2 + b^2}{4}\\\frac{a^2 + b^2}{4} = \frac{a^2 + b^2}{4}$

Assim podemos concluir que  $A_1 + A_2 = A_3$  é verdadeira.