Question

[20PONTOS] Qual é o resto de 1234^2011 na divisão por 5?

Answer 1

Temos que 1234 ≡ 4 ≡ -1mod 5. Elevando a 2011, temos $1234^{2011}$ ≡ ($-1^{2011}$) ≡ 4mod 5.
Portanto, o resto é 4.

É isso ,espero ter ajudado.

Answer 2

Para responder tal questão, é necessário relembrar que toda divisão por 5 tem como resto o algarismo que ao subtrair do número em questão resulta em um múltiplo de 5.

Por exemplo:

$37 = 5 \cdot 7 + 2 \\\\ 21 = 5 \cdot 4 + 1 \\\\ 44 = 5 \cdot 8 + 4$

Com isso, ao relacionar o resto com o último algarismo de qualquer número, notamos o seguinte padrão:

Todo número com terminação em:
0 e 5, tem como resto 0
1 e 6, tem como resto 1
2 e 7, tem como resto 2
3 e 8, tem como resto 3
4 e 9, tem como resto 4

$Exemplo: 30 \Leftrightarrow 40 \\\\\\ 30 = 5 \cdot 6 \\\\ 31 = 5 \cdot 6 + 1 \\\\ 32 = 5 \cdot 6 + 2 \\\\ 33 = 5 \cdot 6 + 3 \\\\ 34 = 5 \cdot 6 + 4 \\\\ 35 = 5 \cdot 7 \\\\ 36 = 5 \cdot 7 + 1 \\\\ 37 = 5 \cdot 7 + 2 \\\\ 38 = 5 \cdot 7 + 3 \\\\ 39 = 5 \cdot 7 + 4 \\\\ 40 = 5 \cdot 8$

Então, por fim, só precisamos de saber qual o valor do último algarismo do número 1234²⁰¹¹. Esse, no caso, será determinado pelo algarismo 4, já que é o único com a capacidade de influenciar as unidades(por ser o último dígito do número em questão).

Segue-se a questão: Qual o último algarismo do número 4²⁰¹¹? Para responder, deve-se procurar outro padrão.

Observe:

$4^0 = 1 \\\\ 4^1 = 4 \\\\ 4^2 = 16 \\\\ 4^3 = 64 \\\\ 4^4 = 256 \\\\ 4^5 = 1024$

Notou? Com exceção de 4⁰, todos os outros seguem com a seguinte regra:

Se o expoente for ímpar(tal como 4⁵), o último dígito será 4.
Caso contrário, o último dígito será 6.

No número 4²⁰¹¹ o expoente é impar, portanto, aplica-se ao primeiro caso.

Sabemos agora que o último algarismo de 1234²⁰¹¹ é 4, logo, aplicando na nossa primeira relação, o resto será 4.

$\boxed{\boxed{ \rightarrow Resposta: Resto= 4}}$