Question

20 – Um hexágono regular, de 2m de apótema, está inscrito em um círculo. Qual o lado de um hexágono regular inscrito em outro círculo cujo perímetro é a metade do perímetro do primeiro.

Answer 1

(Veja a figura do anexo)
O apótema do hexágono (a) é o segmento que tem origem no centro da circunferência (O) que o circunscreve e extremidade no ponto médio do lado (M). Se considerarmos o triângulo retângulo formado pelo apótema, pela metade do lado e pelo raio da circunferência, teremos um triângulo retângulo (OMB), no qual o apótema OM é um cateto, a metade do lado (MB) é outro cateto e o raio (OB) é a hipotenusa.
Para calcularmos o valor do perímetro do hexágono, precisamos conhecer o valor do seu lado (AB). Se obtivermos a metade do seu lado (MB), poderemos obter o valor do lado (AB).
Então, vamos aplicar a função trigonométrica tangente ao triângulo retângulo OMB:

tg MÔB = cateto oposto ÷ cateto adjacente
tg MÔB = MB ÷ OM

Conhecemos:
MÔB = 30º, pois ∡ OMB = 90º e ∡OBM = 60º
OM = apótema = 2 m
Então, temos:

tg 30º = MB ÷ 2 m
MB = 2 m × tg 30º
MB = 2 m × 0,577
MB = 1,154 m

E, assim, o lado do hexágono (AB) será igual a:
AB = 2 × 1,154 m
AB = 2,308 m

E o perímetro (p) do hexágono será igual a:
p = 6 × 2,308 m
p = 13,848 m

O perímetro do outro hexágono (p1) deverá ser a metade deste perímetro:
p1 = 13,848 m ÷ 2
p1 = 6,924 m

Como o lado (e do raio) do novo hexágono (A1B1) é igual à sexta parte deste perímetro, ele valerá:
A1B1 = 6,924 m ÷ 6
A1B1 = 1,154 m

Ou seja, o lado do novo hexágono é igual à metade do lado do hexágono original: 1,154 m