Question

20. Qual é o algarismo das unidades do menor inteiro
positivo par cuja soma dos seus algarismos é igual
a 2026?
(A) 0
(B) 2
(C) 4
(D) 6
(E) 8

Answer 1

Resposta:   Alternativa (E) 8.

O menor número inteiro positivo par, cuja soma de seus algarismos é 2026 é

     $n=2\underbrace{99\cdots 9}_{224~\mathrm{d\acute{i}gitos}}8=3\cdot 10^{225}-2$

e o seu algarismo das unidades é 8 (oito).

Explicação passo a passo:

Primeiramente, vamos efetuar a divisão inteira de 2026 pelo maior algarismo de nosso sistema de numeração decimal, que é o 9:

     $2026=9\cdot 225+1$

Sendo $n$ o número procurado, este deverá ser formado por exatamente 226 algarismos, pois

• O maior número que podemos construir com no máximo 225 algarismos é

     $\underbrace{99\cdots 9}_{225~\mathrm{d\acute{i}gitos}}\\\\ =1\underbrace{00\cdots 0}_{225~\mathrm{d\acute{i}gitos}}-1\\\\ =10^{225}-1$

cuja soma dos algarismos é máxima, porém menor que 2026:

     $225\cdot 9=2025<2026.$

• Qualquer número com mais de 226 algarismos é maior que qualquer número com exatamente 226 algarismos, pois este último tem uma ordem posicional a menos em sua formação.

Prosseguindo com o raciocínio, o menor número de 226 algarismos que é possível formar, cuja soma de seus algarismos resulte 2026 é

     $1\underbrace{99\cdots 9}_{225~\mathrm{d\acute{i}gitos}}\\\\ =2\underbrace{00\cdots 0}_{225~\mathrm{d\acute{i}gitos}}-1\\\\ =2\cdot 10^{225}-1$

porém, este não é par.

Para torná-lo par, preservando a soma dos algarismos e com o menor número possível, só existe a possibilidade de adicionarmos 1 unidade ao algarismo de ordem mais alta, compensando com a subtração de 1 unidade do algarismo de ordem mais baixa, preservando a soma total dos algarismos que formam o número. Dessa forma, obtemos

     $n=2\underbrace{99\cdots 9}_{224~\mathrm{d\acute{i}gitos}}8\\\\ =3\underbrace{00\cdots 0}_{225~\mathrm{d\acute{i}gitos}}-2\\\\ =3\cdot 10^{225}-2$

e de fato, a soma dos algarismos desse número é

     $2+224\cdot 9+8=2026\qquad\checkmark$

e o algarismo das unidades de $n$ é 8 (oito).

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Bons estudos! :-)