Question

20. (PUCRJ) - Quais são as dimensões de um retângulo cujo perímetro é 25 m e cuja área é 25 m²?

Answer 1

Resposta:

Com base nos dados do enunciado, chegamos a conclusão que o retângulo possui dimensões de 10m e 2,5m.

»› Vamos entender a figura.

• Segundo o próprio enunciado, temos um retângulo cujo perímetro e a área são, respectivamente, 25m e 25m².
• Podemos entender por retângulo uma figura de 4 lados, sendo as dimensões de tamanhos diferentes.

Para chegarmos num resultado, devemos imaginar o retângulo proposto, no qual a base e a altura são diferentes.

Proponho então dar a altura do retângulo como medida x e sua base como medida x + y. Logo, x é uma medida qualquer, e y um complemento para transformar um lado maior, tornando a figura um retângulo.

Por conseguinte, podemos calcular o perímetro e a área partindo destas medidas imaginárias.

⟩⟩⟩ Perímetro.

• O Perímetro é dado pela soma de todos os lados.

Logo, sendo a base x + y e a altura x, teremos:

$\blue{x + y} + \green{ x} + \blue{ x + y} + \green{x} \\ \\ \boxed{\boxed{ Perimetro = 4x + 2y}}$

⟩⟩⟩ Área.

• A Área é dada pela multiplicação da base e a altura quando falamos de figuras quadradas e retangulares.

Logo, tendo a base como x + y e altura x, teremos:

$\green{x }\times \blue{(x + y) }\\ \\ \boxed{ \boxed{Area= {x}^{2} + xy}}$

»›» Resolução:

O Perímetro e a área medem, igualmente, 25.

Sabendo disto, temos que Perímetro = Área.

$\large\left \{ {{4x + 2y=25} \atop { {x}^{2} + xy =25}} \right. \\ \\ \boxed{4x + 2y = {x}^{2} + xy}$

Observe que a partir da medida de área podemos calcular através da fórmula de Bhaskara:

${x}^{2} + xy = 25 \\ \red\hookrightarrow {x}^{2} + xy - 25 = 0 \\ \\ \red\longrightarrow \: a = 1 \\ \red\longrightarrow \: b = y \\ \red\longrightarrow \: c = - 25\\ \\ \Delta = {b}^{2} - 4ac \\ \Delta = {y}^{2} - 4 \times 1 \times ( - 25) \\ \Delta = {y}^{2} + 100 \\ \\ x = \frac{ - b \pm \sqrt{\Delta} }{2a} \\ x = \frac{ - y \pm \sqrt{ - y + 100} }{2} \\ \green{\boxed{2x = - y \pm \sqrt{ - y + 100} }}$

Chegando neste resultado, devemos ter uma noção e uma análise sobre a questão do ±.

Sabemos que as medidas do retângulo devem ser maiores que 0, ou seja, positivos, pois não existe medida geométrica negativa.

Temos -y, que deve ser um valor negativo, pois y é maior que 0, e o sinal o torna negativo.

Para que x seja positivo, √∆ deve ser maior que -y, para que a soma resulte num número positivo.

Logo, para que haja um valor de x positivo, devemos desconsiderar o sinal ± e deixar apenas +.

$2x = - y + \sqrt{ - y + 100}$

Voltemos então para o Perímetro, desta vez substituindo o valor de x pelo resultado encontrado.

[!!!] → Já temos o valor de 2x, portanto, 4x é o mesmo que multiplicar por 2 ( 4x = 2×2x)

$4x + 2y = 25 \\ \small2 ( - y + \sqrt{ {y}^{2} + 100} ) + 2y = 25 \\ \\ \small \cancel{- 2y} + 2 \sqrt{ {y}^{2} + 100 } + \cancel{2y} = 25 \\ { 2\sqrt{ {y}^{2} + 100} } = 25 \\ \sqrt{ {y}^{2} + 100} = \frac{25}{2} \\ \\ {y}^{2} + 100 = { (\frac{25}{2}) }^{2} \\ {y}^{2} + 100 = \frac{625}{4} \\ {y}^{2} = \frac{625}{4} - 100 \\ {y}^{2} = \frac{625 - 400}{4} \\ {y }^{2} = \frac{225}{4} \\ y = \sqrt{ \frac{225}{4} } \\ \boxed{ y = \frac{15}{2} }$

Encontrando o valor de y, podemos também encontrar o valor de x, partindo da medida do perímetro.

$4x + 2y = 25 \\ 4x + \cancel2 \times \frac{15}{ \cancel2} = 25 \\ 4x + 15 = 25 \\ 4x = 25 - 15 \\ 4x = 10 \\ x = \frac{10}{4} \\ x = \frac{10 {}^{ \red{\div 2}} }{4 _{ \red{\div 2}} } \\ \boxed{ x = \frac{5}{2} }$

Logo:

$\boxed{x = \frac{5}{2} } \: \: e \: \: \boxed{y = \frac{15}{2} }$

→→ Dimensões:

• As dimensões do retângulo são: base, altura.

Sendo a base igual a x + y, e altura igual a x, teremos que:

$base = \frac{5}{2} + \frac{15}{2} \\ base = \frac{20}{2} \red\rightarrow \: 10m \\ \\ altura = \frac{5}{2} \red\rightarrow2.5m$

Portanto, as dimensões do retângulo são de 10 metros e 2,5 metros.

ESPERO TER AJUDADO, QUALQUER DÚVIDA É SÓ FALAR!!!