Question

(20 PONTOS)
Toda substância radioativa se desintegra a um taxa constante, exponencial. O tempo necessário para que sua massa se reduza à metade é chamado de meia-vida.

O rádio é um metal radioativo cujo isótopo Ra-226 tem meia-vida de 1600 anos. Qual é o tempo necessário, em ano, para que 10g desse isótopo se reduza a 1g?

Resposta: 5300 anos.

Explique por favor.

Answer 1

Olá Cleiton.



Pelas informações do enunciado o que temos é apenas o tempo necessário que o material se reduza a metade. É importante saber sua taxa, com isso temos as seguinte equação.

$\mathsf{M=M_0\cdot(c)^t}$

$\mathsf{M=final}\\\mathsf{M_0=inicial}\\\mathsf{c=taxa}\\\mathsf{t=tempo~(anos)}\\\\\\\\\\\mathsf{M=\dfrac{M_0}{2}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{\diagup\!\!\!\!M_0}{2}=\diagup\!\!\!\!M_0\cdot(c)^{1.600}}\\\\\mathsf{\sqrt[1.600]{\mathsf{\dfrac{1}{2}}}=\sqrt[1.600]{\mathsf{c^{1.600}}}}\\\\\mathsf{c=\sqrt[1.600]{\mathsf{\dfrac{1}{2}}}\qquad\qquad~ou~\qquad\qquad c=2^{-\frac{1}{1.600}}}$

Com a taxa já podemos descobrir em quanto tempo 10 gramas se reduzirá a 1 grama.


$\mathsf{1=10\cdot(2^{-\frac{1}{1.600}})^t}\\\\\mathsf{\dfrac{1}{10}=2^{-\frac{t}{1.600}}}\\\\\mathsf{\ell og(10^{-1})=\ell og(2^{-\frac{t}{1.600}})}\\\\\mathsf{-1\cdot\ell og(10)=-\dfrac{t}{1.600}\cdot \ell og(2)}\\\underline{\qquad\qquad\qquad}\\\\\mathsf{\bullet~\ell og(10)=1}\\\\\mathsf{\bullet~\ell og(2)\approx0,3}\\\underline{\qquad\qquad\qquad}\\\\\mathsf{-1=-\dfrac{t}{1.600}\cdot 0,3}\\\\\mathsf{-1=-\dfrac{t}{1.600}\cdot \dfrac{3}{10}}\\\\\mathsf{-1=-\dfrac{3t}{16.000}}$

$\mathsf{-1\cdot-\dfrac{16.000}{3}=t}\\\\\boxed{\mathsf{t\approx5.333,33}}$


Portanto o tempo necessário para que o material RA-226 reduza de 10 gramas á 1 grama, é de aproximadamente 5.333 anos.


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