Question

(20 Pontos) Resolução de:
Calcule f'(p) pela definição, sendo dados:

∛x e p = 2

Para ficar mais claro: Raiz Cúbica de X

Answer 1

Bom dia Felipe!

Seja a função

$f(p)= \sqrt[3]{x}$

Pela difinição de limites.

$f(x)=f(x+h)-f(h)$

$\lim_{h \to 0}= \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$\lim_{h \to 0}= \dfrac{ \sqrt[3]{x+h} - \sqrt[3]{x} }{h}$

Vamos fazer uso da diferença do cubo para estarmos resolvendo essa questão.

$(A-B).(A^{2}+AB+B^{2} )=(A^{3}-B^{3})$

Veja que

$A= \sqrt[3]{x+h}$

$B= \sqrt[3]{x}$

Logo reescrevendo o limite,tambem vamos ter que racionalizar para cancelar o h.

$\lim_{h \to 0}= \dfrac{ \sqrt[3]{x+h} - \sqrt[3]{x} }{h}. \dfrac{( \sqrt[3]{x+h})^{2}+ \sqrt[3]{x+h}. \sqrt[3]{x}+ (\sqrt[3]{x})^{2} }{ (\sqrt[3]{x+h})^{2} + \sqrt[3]{x+h}. \sqrt[3]{x}+ (\sqrt[3]{x})^{2} }$

$\lim_{x \to 0}=\dfrac{(\sqrt[3]{x+h})^{3}-( \sqrt[3]{x})^{3} }{h (\sqrt[3]{ x^{2} }+ \sqrt[3]{x}. \sqrt[3]{x}+ \sqrt[3]{ x^{2} } }$

Fazendo agora.
$\lim_{h \to 0}= \dfrac{(x+h)^{ \frac{3}{3} }-(x)^{ \frac{3}{3} } }{h( \sqrt[3]{x^{2} }+ \sqrt[3]{x }. \sqrt[3]{ x } + \sqrt[3]{ x^{2} } }$

Vja que

$x^{ \frac{1}{3} }. x^{ \frac{1}{3} }= x^{ \frac{2}{3} } = \sqrt[3]{ x^{2} }$

Cancelando x com x e h com h

$\lim_{h \to 0}= \dfrac{x+h-x}{h( \sqrt[3]{ x^{2} }+\sqrt[3]{ x^{2}}+\sqrt[3]{ x^{2})}}$

$\lim_{h \to 0}= \dfrac{h}{h( \sqrt[3]{ x^{2} }+\sqrt[3]{ x^{2}}+\sqrt[3]{ x^{2})}}$

$\lim_{h \to 0}= \dfrac{1}{( \sqrt[3]{ x^{2} }+\sqrt[3]{ x^{2}}+\sqrt[3]{ x^{2})}}$

$\lim_{h \to 0}= \dfrac{1}{3( \sqrt[3]{ x^{2} })}}$

Uma forma de garantir que o resultado por definição esta correto é derivando a função.

$y= \sqrt[3]{x}$

$y= x^{ \dfrac{1}{3} }$

$y= \dfrac{1}{3} x^{ \dfrac{1}{3} \dfrac{-1}{} }$

$y= \dfrac{1}{3} x^{ \dfrac{-2}{3} }$

$y= \frac{1}{ x^{ \dfrac{2}{3} } }$

$y= \frac{1}{ 3\sqrt[3]{ x^{2} } }$

Bom dia!
Bons estudos!