Question

20 pontos) Escreva na forma geral, a equação de uma circunferência cujo diâmetro tem extremos nos pontos A (-8;4) e B (2;-6).​

Answer 1

Podemos calcular o diâmetro da circunferência através da distância entre os pontos A e B:

$d = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

$d = \sqrt{(2-(-8))^2+(-6-4)^2}$

$d = \sqrt{(2+8)^2+(-10)^2}$

$d = \sqrt{10^2+(-10)^2}$

$d = \sqrt{100+100}$

$d = \sqrt{2 \cdot 100}$

$d = \sqrt{2} \cdot \sqrt{100}$

$d = 10 \cdot \sqrt{2}$

O diâmetro é o dobro do raio, assim:

$r = \dfrac{10 \cdot \sqrt{2}}{2}$

$r = 5 \cdot \sqrt{2}$

Sabendo que estes dois pontos são extremos, então o ponto médio entre eles representa o centro da circunferência:

$x_c = \dfrac{-8 + 2}{2} = \dfrac{-6}{2} = -3$

$y_c = \dfrac{4-6}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1$

A equação da circunferência pode ser escrita:

$(x-x_c)^2 + (y-y_c)^2 = r^2$

Substituindo:

$(x-(-3))^2 + (y-(-1))^2 = (5 \cdot \sqrt{2})^2$

$(x+3)^2 + (y+1)^2 = 5^2 \cdot \sqrt{2}^2$

Expandindo:

$x^2 + 6 \cdot x + 9 + y^2 + 2 \cdot y + 1 = 25 \cdot 2$

$x^2 + 6 \cdot x+ y^2 + 2 \cdot y + 1 + 9 -50 = 0$

$\boxed{x^2 + y^2 + 6 \cdot x+ 2 \cdot y -40 = 0}$