Question

(20 PONTOS) Encontre a integral indefinida:

$\displaystyle\int{\dfrac{1}{e^{\lambda x}+k}\,dx}$

com $\lambda,\;k\in\mathbb{R}^{*}.$

Answer 1

Vou chamar o λ de y, para facicilitar as escritas ja que é uma constante ok?

Vamos fazer e^(yx)+k = T

T = e^(yx)+k

$\\ \frac{dt}{dx} = ye^y^x \\ \\ dt = ye^y^xdx \\ \\ dx = \frac{dt}{ye^y^x}$


Entao fica:


∫$\frac{1}{T} * \frac{dt}{ye^y^x}$

Tinhamos que:

T = e^(yx) + K

entao,

e^(yx) = T - K    *(y)

ye^(yx) = Ty - Ky

Substituindo fica:

∫$\frac{1}{T}* \frac{dt}{Ty -Ky}$

∫$\frac{dt}{yT^2 -KyT}$

∫$\frac{1}{y} * \frac{dt}{T^2-KT}$

1/y*∫$\frac{dt}{T^2-KT}$

1/y*∫$\frac{dt}{T(T -K)}$

Vamos resolver por fração pacial:

$\\ \frac{1}{T(T-K)} = \frac{A}{T} + \frac{B}{T-K} \\ \\ 1 = A(T -K) + B(T) \\ \\ 1 = T(A + B) + (-K*A)$

A + B = 0

-K*A = 1
A = -1/K =

entao, A + B = 0

-1/K + B = 0

B = 1/K

Entao fica:



∫$\frac{dt}{T(T^2-K)} = 1/y[(-1/K*integ(dt/T) +1/k* Integ( \frac{dt}{T-K} )]$)

-1/y*1/K*∫$\frac{dt}{T} + 1/y*1/K*integ(dt/(T-K)$

Temos que: ∫du/u = Ln|U|

-1/y*k*Ln|T| + 1/yk*Ln|T-K| + C

Substituindo "T" por "e^(yx)+K" fica

-1/ky*Ln|e^(yx)+K| + 1/ky*Ln|e^(yx)+K - K| + C  ⇔ Cancela o "K" ↓

-1/Ky*$Ln|e^y^x + K| + 1/ky*Ln|e^y^x| + C$

$\\ \frac{-1}{Ky} *[ Ln|e^y^x+K| -Ln|e^y^x|] \\ \\ \frac{-1}{Ky} *Ln| \frac{e^y^x+K}{e^y^x} | + C$

Pra confirmar, Se derivar essa função, irar notar que chegara na expressão $\frac{1}{e^y^x+K}$ 

Bons estudos!