Question

2°) Determine o valor de x afim de que
a sequência ( 5x + 1, x + 1, x - 2), seja
uma PG.​

Answer 1

Há algumas formas de determinarmos o(s) valor(es) para esse "x", nesta resolução vou calcula-lo utilizando a definição para a razão "q" de uma PG.

Sabemos que, em uma PG, a razão é calculada pelo quociente (divisão) entre um termo e seu antecessor como, por exemplo, a₂/a₁ , a₃/a₂ , a₄/a₃ ...

$\boxed{\sf q~=~\dfrac{a_n}{a_{n-1}}}$

Em outras palavras, tomando-se dois termos consecutivos quaisquer, sempre obteremos o mesmo valor para a razão, ou seja, ela se mantém constante.

A PG dada possui três termos, logo podemos escrever a seguinte equação:

$\boxed{\sf \dfrac{a_2}{a_1}~=~\dfrac{a_3}{a_2}}$

Substituindo os valores de cada termo, temos:

$\sf \dfrac{x+1}{5x+1}~=~\dfrac{x-2}{x+1}\\\\\\Multiplicando~cruzado\\\\\\x\cdot x+x\cdot 1+1\cdot x+1\cdot 1~=~5x\cdot x-5x\cdot 2+1\cdot x-1\cdot 2\\\\\\x^2+x+x+1~=~5x^2-10x+x-2\\\\\\5x^2-x^2-10x+x-x-x-2-1~=~0\\\\\\\boxed{\sf 4x^2-11x-3~=~0}$

Chegamos em uma equação de 2º grau, para acharmos os valores de "x", basta aplicarmos Bhaskara:

$\sf \Delta~=~(-11)^2-4\cdot 4\cdot (-3)\\\\\Delta~=~121+48\\\\\boxed{\sf \Delta ~=~169}\\\\\\x'~=~\dfrac{11+\sqrt{169}}{2\cdot 4}~=~\dfrac{11+13}{8}~=~\dfrac{24}{8}~~~\Longrightarrow~~~\boxed{\sf x'~=~3}\\\\\\x''~=~\dfrac{11-\sqrt{169}}{2\cdot 4}~=~\dfrac{11-13}{8}~=~\dfrac{-2}{8}~~~\Longrightarrow~~~\boxed{\sf x''~=\,-\dfrac{1}{4}}$

Como pudemos ver, não há 1, mas 2 valores possíveis para "x" de modo a tornar a sequência dada em uma PG:  3 e -1/4

Ainda, caso se queira ir além, com x=3 teremos uma PG decrescente de razão q=1/4 e, para x=-1/4, teremos uma PG alternada de razão q=-3.

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$

Answer 2

Resposta:x=7 ± √97/8

Explicação passo-a-passo:

(5x + 1, x + 1, x - 2)

a3/a2=a2/a1

(x-2)/(x+1)=(x+1)/(5x+1)

(x-2).(5x+1)=(x+1).(x+1)

5x²+5x-10x-2=x²+x+x+1

5x²-5x-2=x²+2x+1

5x²-x²-5x-2x-2-1=0

4x²-7x-3

Δ=b²-4.a.c

Δ=(-7)²-4.4.(-3)

Δ=49+48

Δ=97

x=-b ± √Δ/2.a

x=-(-7) ± √97/2.4

x=7 ± √97/8