Question

2^x.2,5^x=0,2 como resolvo para x?

Answer 1

O valor de X é -1

• Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos a seguinte equação exponencial

$2^X\cdot2,5^X=0,2$

O primeiro passo para facilitar nosso cálculos é transforma esses números decimais em frações

$2,5= \dfrac{5}{2}$

$0,2=\dfrac{1}{5}$

basta substituirmos na equação

$2^X\cdot2,5^X=0,2\\\\\\\boxed{2^X\cdot\dfrac{5}{2} ^X=\dfrac{1}{5} }$

agora aplicamos uma propriedade do expoente a propriedade P4

$A^N\cdot B^N=(A\cdot B)^N$

Aplicando essa propriedade na questão temos

$2^X\cdot\dfrac{5}{2} ^X=\dfrac{1}{5} \\ \\ \\ (2\cdot\dfrac{5}{2}) ^X=\dfrac{1}{5} \\ \\ \\ (\dfrac{2\cdot5}{2})^X=\dfrac{1}{5} \\ \\ \\ (\dfrac{10}{2})^X=\dfrac{1}{5} \\ \\ \\ (\dfrac{5}{1})^X=\dfrac{1}{5} \\ \\ \\ \boxed{5^X=\dfrac{1}{5}}$

ou seja agora basta aplicarmos outra propriedade a propriedade P6

$A^{-N}=\dfrac{1}{A^N}$

Vamos a questão

$5^X=\dfrac{1}{5}\\ \\ \\ \boxed{(\dfrac{1}{5})^{-X}=\dfrac{1}{5}}$

agora que as bases são iguais podemos aplicar a propriedade das base iguais

$\boxed{A^X=A^Y\Rightarrow X=Y}$

$(\dfrac{1}{5})^{-X}=\dfrac{1}{5}\\ \\ \\ -X=1\\ \\ \boxed{X=-1}$

O valor de X é -1

Prova real, para verificar se X é -1

Basta substituir X por -1 na equação

$2^X\cdot\dfrac{5}{2} ^X=\dfrac{1}{5} \\ \\\\ 2^{-1}\cdot\dfrac{5}{2} ^{-1}=\dfrac{1}{5}\\ \\ \\ \dfrac{1}{2} \cdot\dfrac{2}{5} =\dfrac{1}{5} \\ \\\\ \dfrac{2}{10} =\dfrac{1}{5} \\ \\ \\ \boxed{\dfrac{1}{5} =\dfrac{1}{5}}$

assim provamos que X é realmente -1