Question

2
X + 2
2ydydxdz
Seja a integral tripla
Seja a integral tripla SSL * 2ydydxdz
Assinale a alternativa correta quanto o valor da integral
Escolha uma:
Escolha uma:a) 24/3 , b) 44/3, c) 34/5, d) 14/5, e) 4/3.​'

Answer 1

Resposta:

Item b

Explicação passo-a-passo:

$\int\limits^2_0 {}\int\limits^z_0 {}\int\limits^t_0 {2y} \, dy \, dx \, dz \\\\\\onde\\t=x+2$

(obs: não consegui escrever x+2 no limite superior)

Você começa integrando de dentro para fora, ou seja, você trabalha inicialmente com

$\int\limits^t_0 {2y} \, dy=2.\dfrac{y^{2}}{2}=y^{2}]\limits^t_0=(x+2)^{2}-0^{2}=x^{2}+4x+4$

a integral agora fica

$\int\limits^2_0 {}\int\limits^z_0 {(x^{2}+4x+4)}\, dx \, dz$

Novamente você integra a parte de dentro

$\int\limits^z_0 {(x^{2}+4x+4)} \, dx=\\\\\\=(\dfrac{x^{3}}{3}+4.\dfrac{x^{2}}{2}+4x)]\limits^z_0=\\\\\\=\dfrac{z^{3}}{3}+2.z^{2}+4z$

e finalmente ficamos com

$\int\limits^2_0 {(\dfrac{z^{3}}{3}}+2z^{2}+4z)\, dz=\\ \\\\=(\dfrac{\frac{z^{4} }{4}}{3}+2.\dfrac{z^{3}}{3}+4.\dfrac{z^{2}}{2})]\limits^2_0=\\\\\\=(\dfrac{z^{4}}{12}+2.\dfrac{z^{3}}{3}+2z^{2})]\limits^2_0=\\\\\\=\dfrac{2^{4} }{12}+\dfrac{2.2^{3} }{3}+2.2^{2}=\\ \\\\=\dfrac{16}{12}+\dfrac{16}{3}+8=\dfrac{4}{3}+\dfrac{16}{3}+8=\dfrac{16+4+24}{3}=\dfrac{44}{3}$

Item b