Question

2. Verifique se as expressões a seguir representam uma circunstância:

a) x²+y²+2x+2y+1=0

b) x²+y²+2x+2y+2=0

c) x²+y²+2x+2y+5=0​

Answer 1

Para que seja uma circunferência, a equação poderá ser reescrita na forma:

$\boxed{\sf (x-a)^2~+~(y-b)^2~=~r^2}\\\\\\\sf Onde~~(a,b)~\acute{e}~o~centro~da~circunferencia~e~r,~seu~raio$

Vamos verificar.

a)

$\sf x^2~+~y^2~+~2x~+~2y~+~1~=~0\\\\\\x^2~+~2x~+~y^2~+~2y~=\,-1\\\\\\(x^2~+~2x)~+~(y^2~+~2y)~=\,-1\\\\\\Completar~quadrados\\\\\\(x^2~+~2\cdot 1x~+~1^2~-~1^2)~+~(y^2~+~2\cdot 1y~+~1^2~-~1^2)~=\,-1\\\\\\(x^2~+~2\cdot 1x~+~1^2)~-~1^2~+~(y^2~+~2\cdot 1y~+~1^2)~-~1^2~=\,-1\\\\\\(x~+~1)^2~-~1~+~(y~+~1)^2~-~1~=\,-1\\\\\\(x~+~1)^2~+~(y~+~1)^2~=\,-1~+~1~+~1\\\\\\(x~+~1)^2~+~(y~+~1)^2~=~1\\\\\\\boxed{\sf (x~+~1)^2~+~(y~+~1)^2~=~1^2}$

Portanto, sim, esta primeira equação representa uma circunferencia de centro no ponto (-1 , -1) e raio de 1 unidade.

b)

$\sf x^2~+~y^2~+~2x~+~2y~+~2~=~0\\\\\\x^2~+~2x~+~y^2~+~2y~=\,-2\\\\\\(x^2~+~2x)~+~(y^2~+~2y)~=\,-2\\\\\\Completar~quadrados\\\\\\(x^2~+~2\cdot 1x~+~1^2~-~1^2)~+~(y^2~+~2\cdot 1y~+~1^2~-~1^2)~=\,-2\\\\\\(x^2~+~2\cdot 1x~+~1^2)~-~1^2~+~(y^2~+~2\cdot 1y~+~1^2)~-~1^2~=\,-2\\\\\\(x~+~1)^2~-~1~+~(y~+~1)^2~-~1~=\,-2\\\\\\(x~+~1)^2~+~(y~+~1)^2~=\,-2~+~1~+~1\\\\\\\boxed{\sf (x~+~1)^2~+~(y~+~1)^2~=~0}$

Portanto, não, a equação não representa uma circunferência, pois não pode haver circunferência de raio nulo (0).

c)

$\sf x^2~+~y^2~+~2x~+~2y~+~5~=~0\\\\\\x^2~+~2x~+~y^2~+~2y~=\,-5\\\\\\(x^2~+~2x)~+~(y^2~+~2y)~=\,-5\\\\\\Completar~quadrados\\\\\\(x^2~+~2\cdot 1x~+~1^2~-~1^2)~+~(y^2~+~2\cdot 1y~+~1^2~-~1^2)~=\,-5\\\\\\(x^2~+~2\cdot 1x~+~1^2)~-~1^2~+~(y^2~+~2\cdot 1y~+~1^2)~-~1^2~=\,-5\\\\\\(x~+~1)^2~-~1~+~(y~+~1)^2~-~1~=\,-5\\\\\\(x~+~1)^2~+~(y~+~1)^2~=\,-5~+~1~+~1\\\\\\\boxed{\sf (x~+~1)^2~+~(y~+~1)^2~=\,-3}$

Portanto, não, a equação não representa uma circunferência, pois não pode haver circunferência de raio negativo.

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$