Question

2) Uma relação entre a e b de modo que a + bi + i² = 5 + 4i é: *
a) ab = 36
b) a = b + 2
c) a + b = 20
d) a – b = 8

Answer 1

Uma relação entre a e b de modo que a + bi + i² = 5 + 4i é: b) a = b + 2.

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Foi-nos dado a igualdade de números complexos

                                              $\qquad\displaystyle\Largea+bi+i^2=5+4i,$

na qual queremos, primeiramente, determinar o valor dos coeficientes a (parte real) e b (parte imaginária). Sabe-se que $i=\sqrt{-\,1}$ (a unidade imaginária corresponde à raiz quadrada de menos um). Sendo assim,

                                     $\quad\displaystyle\Large\begin{gathered}a+bi+(\sqrt{-\,1}\,)^2=5+4i\\\\a+bi-1=5+4i\\\\a+bi=1+5+4i\\\\a+bi=6+4i.\end{gathered}$

Se estes complexos são iguais, então as partes reais e imaginárias de um devem corresponder às do outro. Portanto, temos que

                               $\displaystyle\Largea+bi=6+4i\implies\begin{cases}a=6\\b=4\end{cases}.$

Tendo o conhecimento de a e b, verificaremos as alternativas:

$\displaystyle\Large\text{ \boldsymbol{a)}~\left[\begin{array}{lll}ab\overset{?}{=}36\\\\ 6\cdot4\overset{?}{=}36\\\\24\neq36.\end{array}\right.~~~\huge\red{\sf X} }$

$\displaystyle\Large\text{ \boldsymbol{b)}~\left[\begin{array}{lll}a\overset{?}{=}b+2\\\\ 6\overset{?}{=}4+2\\\\6=6.\end{array}\right.~~~\Huge\green{\checkmark} }$

$\displaystyle\Large\text{ \boldsymbol{c)}~\left[\begin{array}{lll}a+b\overset{?}{=}20\\\\ 6+4\overset{?}{=}20\\\\10\neq20.\end{array}\right.~~~\huge\red{\sf X} }$

$\displaystyle\Large\text{ \boldsymbol{d)}~\left[\begin{array}{lll}a-b\overset{?}{=}8\\\\ 6-4\overset{?}{=}8\\\\2\neq8.\end{array}\right.~~~\huge\red{\sf X} }$

Como pode-se ver, a única relação verdadeira entre a e b apresentada é a da alternativa b.

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.