Matemática, perguntado por vinicius6794, 1 ano atrás

2)
Um veículo cujo valor à vista é R$ 42.000,00 está sendo financiado em 60 parcelas mensais e iguais, sob o regime de taxa de juros compostos de 2% a.m., tendo o início de seus pagamentos após 3 meses do ato da compra.

Assinale a alternativa que corresponde o valor das parcelas desse financiamento.

Alternativas:

a)
R$ 1.112,75.

b)
R$ 1.752,01.

c)
R$ 1.701,25.

d)
R$ 1.012,57.

e)
R$ 1.257,10.

Soluções para a tarefa

Respondido por LouiseSG

Olá, tudo bem?

Para resolver essa questão, vamos aplicar a fórmula da matemática financeira, que nos permite calcular o valor das parcelas de um financiamento com condições especiais de carência:

$AV(1+i)^{k-1}=parc[\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}]$

Onde:

AV = valor à vista do produto, valor presente

k = carência, período em que ocorrerá o início do pagamento do financiamento.

i = taxa de juros compostos.

n = número total de parcelas do financiamento.

parc = valor da parcela do financiamento.

Dados os valores:

AV = R$ 42.000,00

k = 3

i = 2% a.m. = 0,02

n = 60

parc = ??

$AV(1+i)^{k-1}=parc[\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}]$

$42000(1+0,02)^{3-1}=parc[\frac{1-(1+0,02)^{-60}}{0,02}]$

$43696,8=parc[34,7609]$

$parc=1257,07$

O valor das parcelas desse financiamento é de R$ 1257,07, ou seja. alternativa e) R$ 1.257,10.

Respondido por manuel272

Resposta:

1.257,07 <= valor de cada parcela do financiamento

Explicação passo-a-passo:

=> Estamos perante um exercício de uma Série Uniforme de Capitais ..Postecipada com carência

Podemos resolver este exercício de 2 formas:

1ª FORMA:

Utilizando o conceito de “Coeficiente de Financiamento” (CF) e aí temos de decompor a resolução “em partes”, a saber:

=> Calcular o CF para a parte “continua” da operação (período dos pagamentos)

=> Capitalizar o Valor Inicial (á vista) para o “momento 3”

E aqui não nos podemos esquecer que é uma série postecipada ..logo o período de capitalização NÃO É de 3 meses ..mas apenas de 2 meses

=> Por fim efetuar o cálculo entre o valor capitalizado e o CF

2ª FORMA:

Abordar a questão de uma forma matematicamente mais correta ..ou seja abordar a questão como uma Série Uniforme de Pagamentos Postecipada com carência

1ª FORMA – RESOLUÇÃO:

O cálculo das parcelas será dado por:

PMT = VA(*) , CF

onde

PMT = Valor da parcela

VA(*) = Valor Atual, neste caso como existe um período de carência o VA terá de ser capitalizado ao "momento 3" do financiamento

CF = coeficiente de Financiamento

como

CF = i/[1 - 1/(1 + i)ⁿ] ...onde i = 2% ..ou 0,02 (de 2/100)

donde resulta ..substituindo:

CF = 0,02/[1 - 1/(1,03)⁶⁰]

CF = 0,02/[1 - 1/(3,281031)]

CF = 0,02/(1 - 0,304782)

CF = 0,02/0,695218

CF = 0,028768 <= coeficiente de Financiamento

Capitalização do Valor á vista (VA) para o "momento 3" do financiamento VA(₃):

VA(₃) = VA . (1 + i)⁽ⁿ⁻¹⁾

onde

VA(₃) = Valor atual calculado ao "momento 3", neste caso a determinar

VA = Valor Atual, neste caso VA = 42000

n = número de períodos de capitalização, neste caso será "n - 1" ...porque é uma série postecipada (muito importante ter atenção a este pormenor)

Resolvendo:

VA(₃) = VA . (1 + i)⁽ⁿ⁻¹⁾

VA(₃) = 42000 . (1 + 0,02)⁽³⁻¹⁾

VA(₃) = 42000 . (1 + 0,02)²

VA(₃) = 42000 . (1,02)²

VA(₃) = 42000 . (1,0404)

VA(₃) = 43.696,80 <= Valor capitalizado ao "momento 3"

Retomando a nossa fórmula inicial para calculo das parcelas:

PMT = VA(*) , CF

..substituindo

PMT = 43.696,80 . 0,028768

PMT = 1.257,07 <= Valor das parcelas do financiamento

(note que não efetuamos nunca nenhum arredondamento ao longo do calculo pelo que podem haver diferenças de "cêntimos" em relação a alguns gabaritos)

2ª FORMA - Resolução:

Abordar a questão de uma forma matematicamente mais correta ..ou seja abordar a questão como uma Série Uniforme de Pagamentos Postecipada com carência

Temos a fórmula da Série de pagamentos Postecipada ...com carência:

PMT = VA . { [(1 + i)⁽ˣ⁻¹⁾ . i]/[1 - (1 + i)⁽⁻ⁿ⁾] }

Onde

PMT = Valor da parcela, neste caso a determinar

VA = Valor Atual (á vista), neste caso VA = 42000

i = Taxa de Juro da aplicação, neste caso i = 0,02

x = Período de carência, neste caso x = 3

n = Número de "ciclos" de pagamentos (número de parcelas), neste caso n = 60

Substituindo e resolvendo:

PMT = VA . { [(1 + i)⁽ˣ⁻¹⁾ . i]/[1 - (1 + i)⁽⁻ⁿ⁾ ] }

PMT = 42000 . { [(1 + 0,02)⁽³⁻¹⁾ . 0,02]/[1 - (1 + 0,02)⁽⁻⁶⁰⁾ ] }

PMT = 42000 . { [(1,02)⁽²⁾ . 0,02]/[1 - (1,02)⁽⁻⁶⁰⁾ ] }