Question

2. Um botânico, encantado com o pau-brasil, dedicou-se, durante anos de estudos, a conseguir criar uma função exponencial que medisse o crescimento dessa árvore no decorrer do tempo. Sua conclusão foi que, ao plantar-se essa árvore, seu crescimento, no decorrer dos anos, é dado por C(t) = 0,5 · 2^t-1, onde t representa o tempo em anos e C altura em metros. Analisando essa função, responda:


a) quanto tempo essa árvore leva para atingir a altura de 16 metros?


b) qual a altura, em metros, dessa árvore após 3 anos?

Answer 1

Analisando a função, temos que a resposta será:

A) Para atingir 16 metros, a árvore levará 6 anos

B) Após 3 anos a altura da árvore será de 2 metros

Função exponencial:

Resolução:

A função está corretamente descrita abaixo:

$C(t) = 0,5.(2^{t-1})$

A) Temos que para que a árvore atingir 16 metros, temos que igualar a função de crescimento igual a 16, portanto:

$0,5.(2^{t-1}) = 16\\(2^{t-1}) = \frac{16}{0,5} \\(2^{t-1}) = 32 \\(2^{t-1}) = 2^{5} \\\\t-1=5\\t=6$

Portanto, sendo a unidade de tempo em anos, a árvore levará 6 anos para atingir a altura de 16 metros.

B) Para calcular a altura em metros dada uma certa idade, temos que substituir no termo t dessa equação o valor de 3 anos, então temos:

$C(t) = 0,5.(2^{t-1})\\C(3) = 0,5.(2^{3-1})\\C(3) = 0,5.(2^{2})\\C(3) = 0,5.(4)\\C(3) = 2 metros$

Portanto, sendo a unidade de altura em metros, temos que depois de 3 anos, ela terá uma altura de 2 metros.

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