Question

2. (UFPEL) Qual a imagem de f(x) = 2sen(x) - 3?

Answer 1

Sabemos a imagem da função $\mathrm{sen}(x):$

$-1\leq \mathrm{sen}(x)\leq 1$


Multiplicando todos os membros por $2,$ temos

$-2\leq 2\,\mathrm{sen}(x)\leq 2$


Subtraindo $3$ de todos os membros da dupla desigualdade acima, temos

$-2-3\leq 2\,\mathrm{sen}(x)-3\leq 2-3\\ \\ -5\leq 2\,\mathrm{sen}(x)-3\leq -1\\ \\ -5\leq f(x)\leq -1$


Portanto, o conjunto imagem de $f$ é

$\mathrm{Im}(f)=\left\{y\in\mathbb{R}\left|\;-5\leq y\leq -1\right. \right \}$


ou usando a notação de intervalos,

$\mathrm{Im}(f)=[-5,\;-1].$