Question

2. Trace no plano cartesiano, o gráfico da seguinte função quadrática, a posição da
concavidade das parábolas :
a) f(x) = x2 - 6x + 8
b) f(x) = - x2 + 6x – 9

POR FAVOR AJUDEM SOU MUITO RUIM EM MATEMATICA E NAO CONSIGO RESPONDER

Answer 1

Como o enunciado deixa claro, as duas funções polinomiais dadas são do 2º grau (quadráticas), ou seja, o maior expoente de "x" é 2 e, portanto, suas interpretações gráficas serão dadas por parábolas.

A função polinomial de 2º grau é escrita na forma  ax²+bx+c, sendo que "a" é, necessariamente, diferente de 0.

Para que o gráfico esteja plotado/esboçado de forma apropriada, devemos apresentar alguns pontos que caracterizam a função dada:

--> Ponto(s) onde a curva intersepta o eixo das abcissas (eixo x), caso exista(m), sendo dados pelas raízes Reais da função;

--> Ponto onde a curva intersepta o eixo das ordenadas (eixo y), dado pelo coeficiente "c" da função;

--> Ponto de máximo ou mínimo da função, dado pelo seu Vértice.

Além destes, caso se queira um desenho mais preciso, podemos ainda calcular outros pontos simplesmente substituindo "x" na função por um valor qualquer (dentro do domínio).

Vamos lembrar também que a parábola terá sua concavidade voltada para cima quando o coeficiente "a" for positivo e para baixo quando o coeficiente "a" for negativo.

a)

Vamos começar extraindo o valor dos coeficientes desta função:

a = 1

b = -6

c = 8

Como o coeficiente "a" é positivo, a concavidade é voltada para cima.

Utilizando Bhaskara podemos determinar a(s) raiz(es) da função, ou seja, o(s) ponto(s) onde a curva interceptará o eixo das abcissas.

$\Delta~=~b^2-4\cdot a\cdot c\\\\\Delta~=~(-6)^2-4\cdot 1\cdot 8\\\\\Delta~=~36-32\\\\\boxed{\Delta~=~4}\\\\\\x'~=~\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}~=~\dfrac{-(-6)+\sqrt{4}}{2\cdot 1}~=~\dfrac{6+2}{2}~=~\dfrac{8}{2}~\Rightarrow~\boxed{x'~=~4}\\\\\\x''~=~\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}~=~\dfrac{-(-6)-\sqrt{4}}{2\cdot 1}~=~\dfrac{6-2}{2}~=~\dfrac{4}{2}~\Rightarrow~\boxed{x''~=~2}$

Então a parábola intercepta o eixo "x" nos pontos (4 , 0) e (2 , 0).

Como mencionado anteriormente, o ponto de interceptação do eixo das ordenadas é dado pelo coeficiente "c", logo temos outro ponto de interesse, o ponto (0 , 8).

Podemos passar agora ao vértice da parábola que, nesse caso, como tem sua concavidade voltada para cima, representa o ponto mínimo da curva.

O vértice pode ser determinado pela fórmula:

$\left(V_x~,~V_y\right)~=~\left(-\dfrac{b}{2a}~,~-\dfrac{\Delta}{4a}\right)$

Substituindo os valores, temos:

$\left(V_x~,~V_y\right)~=~\left(-\dfrac{-6}{2\cdot 1}~,~-\dfrac{4}{4\cdot 1}\right)\\\\\\\left(V_x~,~V_y\right)~=~\left(-\dfrac{-6}{2}~,~-\dfrac{4}{4}\right)\\\\\\\boxed{\left(V_x~,~V_y\right)~=~\left(3~,\,-1\right)}$

Por fim, nos resta localizar os pontos achados e traçar uma parábola por eles. Vale mencionar novamente que, para um desenho mais preciso, será preciso calcular outros pontos da curva, no entanto, como trata-se de um esboço, estes pontos são suficientes.

Observe o anexo 1, para ver como fica o gráfico.

b)

Extraindo o valor dos coeficientes desta função:

a = -1

b = 6

c = -9

Como o coeficiente "a" é negativo, a concavidade é voltada para baixo.

Utilizando Bhaskara podemos determinar a(s) raiz(es) da função, ou seja, o(s) ponto(s) onde a curva interceptará o eixo das abcissas.

$\Delta~=~b^2-4\cdot a\cdot c\\\\\Delta~=~(6)^2-4\cdot (-1)\cdot (-9)\\\\\Delta~=~36-36\\\\\boxed{\Delta~=~0}\\\\\\x'~=~\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}~=~\dfrac{-6+\sqrt{0}}{2\cdot (-1)}~=~\dfrac{-6+0}{-2}~=~\dfrac{-6}{-2}~\Rightarrow~\boxed{x'~=~3}\\\\\\x''~=~\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}~=~\dfrac{-6-\sqrt{0}}{2\cdot (-1)}~=~\dfrac{-6-0}{-2}~=~\dfrac{-6}{-2}~\Rightarrow~\boxed{x''~=~3}$

Note que temos uma raiz dupla, ou seja, as duas raízes tem mesmo valor. Sendo assim, a parábola intercepta o eixo "x" em um único ponto:  (3 , 0).

Veremos logo mais que este ponto será, também o vértice da função.

O ponto de interceptação do eixo das ordenadas, dado pelo coeficiente "c", é (0 , -9).

Já vértice da parábola que, nesse caso representará o ponto máximo da curva, uma vez que sua concavidade é voltada para baixo, é dado por:

$\left(V_x~,~V_y\right)~=~\left(-\dfrac{b}{2a}~,~-\dfrac{\Delta}{4a}\right)\\\\\\\left(V_x~,~V_y\right)~=~\left(-\dfrac{6}{2\cdot (-1)}~,~-\dfrac{0}{4\cdot (-1)}\right)\\\\\\\left(V_x~,~V_y\right)~=~\left(-\dfrac{6}{-2}~,~-\dfrac{0}{-4}\right)\\\\\\\boxed{\left(V_x~,~V_y\right)~=~\left(3~,~0\right)}$

Como dito antes, a raiz dupla é também o vértice da função.

Por fim, nos resta localizar os pontos achados e traçar uma parábola por eles.

Observe o anexo 2, para ver como fica o gráfico.

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$