Question

2. Suponha que a população de uma cidade fosse representada por um número que é um quadrado perfeito. Com um aumento de
100 habitantes, a população passou a ser uma unidade maior do que outro quadrado perfeito. Depois, com outro aumento de 100
habitantes, a população voltou a ser um novo quadrado perfeito. Qual era a população original?

Answer 1

A população inicial era de 2401 habitantes.

Quadrado perfeito

Um número é considerado quadrado perfeito quando a sua raiz quadrada é um número que pertence aos inteiros. Por exemplo, o número 9 é um quadrado perfeito, pois a raiz quadrada de 9 é igual a 3 (que é um número inteiro).

Pelo enunciado, temos as seguintes relações:

1. o número de habitantes é um quadrado perfeito (n = x²)
2. com 100 habitantes a mais, o número de habitantes é maior em uma unidade do que um quadrado perfeito (n+100 = y²+1)
3. com mais 100 habitantes (200 a mais do que o inicial), o novo número de habitantes passa a ser um outro quadrado perfeito (n + 200 = z²)

Separando as equações, obtemos o seguinte sistema:

$\left \{ {{n=x^2} \atop {n+100=y^2+1}} \atop {n+200 = z^2} \right.$

Fazendo a subtração entre as linhas 3 e 2 do sistema acima, obtemos a seguinte relação:

n + 200 - n - 100 = z² - y² - 1 ⇔ 100 = z² - y² -1 ⇔ z² - y² = 101

(z+y).(z-y) = 101

Número Primo

O número 101 é um número primo, ou seja, ele só é divisível por 1 e por ele mesmo (101), então sabemos que o produto entre dois números seja igual a 101, temos que:

$\left \{ {{z+y = 101} \atop {z- y = 1}} \right.$

Somando as duas equações:

z + y + z - y = 102 ⇔ 2z = 102 ⇔ z = 102/2

z = 51

Substituindo o valor de z na primeira equação:

51 + y = 101

y = 50

Como n+100 = y² +1:

n = y² - 99 ⇔ n = 50² - 99 ⇔ n = 2500 - 99

n = 2401 habitantes

Para entender mais sobre quadrado perfeito e sobre números primos, acesse os links abaixo.

https://brainly.com.br/tarefa/2661836

https://brainly.com.br/tarefa/4342933

Espero ter ajudado!

Bons estudos!

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