Question

2 senx - cossec x = 1

Answer 1

2senx - 1/senx = 1
2sen²x - 1 = senx
2sen²x - senx - 1 = 0 

Δ = (-1) - 4.2.(-1)
Δ = 1 + 8
Δ = 9

Senx = -(-1) +- √9/2.2
Senx = 1 +3/4 = 4/4 = 1
Senx = 1 - 3/4 = -2/4 = -1/2

Answer 2

• Resposta:

S = { x € R / x = π/2 + 2kπ ou x = 7π/6 + 2kπ ou x = 11π/6 + 2kπ, k € Z }

Equação Trigonométrica

Temos a Seguinte equação:

$\huge\boxed{ \boxed{ \sf2senx - cossec x = 1}}$

Para resolvermos essa Equação, temos que saber das equações Trigonométricas fundamentais, Veja Abaixo essas equações:

$\Large \boxed{ \begin{array}{lr} \\ \sf senx = sen \alpha \\ \sf x = \alpha + 2k\pi \: \: ou \: \: (\pi - \alpha ) + 2k\pi \\ \\ \sf cosx = cos \alpha \\ \sf x = \pm \alpha + 2k\pi \\ \\ \sf tanx = tan \alpha \\ \sf x = \alpha + k\pi \\ \: \end{array}}$

Mas no caso dessa Equação, só vamos precisar do sen x. Primeiramente temos que reduzir a equação da questão, em uma equação Trigonométrica fundamental, e aplicar a fórmula. Melhorando a aparência da equação, vamos lembrar que:

$\huge \boxed{ \boxed{ \sf cossecx = \dfrac{1}{senx} }}$

, Logo, vamos ter a equação 2sen x - 1/Sen x = 1, aí que temos que aplicar algumas manipulações Álgebricas. Vamos começar multiplicando a equação por sen x, e simplificar o possível:

$\Large \boxed{ \begin{array}{c} \\ \sf2senx - \dfrac{1}{senx} = 1 \\ \\ \sf \sf2senx - \dfrac{1}{senx} = 1 \cdot(senx) \\ \\ \sf \sf2 {sen}^{2} x - \dfrac{senx}{senx} = senx \\ \\ \sf \sf2sen^{2} x -1 = senx \\ \: \end{array}}$

• Substituição de y = senx

$\Large \boxed{ \begin{array}{c} \\ \sf \sf2sen^{2} x -1 = senx \\ \\ \sf {2y}^{2} - 1 = y \\ \\ \sf {2y}^{2} - y - 1 \\ \\ \sf \rightarrow {2y}^{2} - y - 1 = 0\\ \: \end{array}}$

Resolucionando a equação do segundo grau pela fórmula de Bháskara cálculo abaixo:

$\Large \boxed{ \begin{array}{c} \\ \sf y= \dfrac{ - b \pm \sqrt{ {b}^{2} - 4ac } }{2a} \\ \\ \sf y = \dfrac{ - ( - 1) \pm \sqrt{ {( - 1)}^{2} - 4 \cdot2 \cdot( - 1) } }{2 \cdot2} \\ \\\sf y= \dfrac{ 1 \pm \sqrt{ 1 + 8 } }{4} \\ \\ \sf y = \dfrac{ 1 \pm \sqrt{ 9 } }{4} \\ \\\sf y = \dfrac{ 1 \pm 3}{4} \\ \: \end{array}}$

• Raízes:

$\Large \boxed{\boxed{\sf y_{1} \dfrac{1+3}{4} = 1 }} \\\\ \large \boxed{\boxed{\sf y_{2} \dfrac{1-3}{4} =-\dfrac{1}{2} }}$

Temos que:

• y = 1 ou y = -1/2

Substituimos o y por sen x:

$\huge \boxed{ \boxed{ \sf senx= 1 \: \: ou \: \: senx = - \dfrac{1}{2} }}$

Agora vamos resolver as equações separadamente, sen x = 1, depois sen x = -1/2. Cálculo das equações abaixo

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sen x = 1

Pensando um pouco, Pela circunferência Trigonométrica, lembramos que sen π/4 = 1, Logo, Vamos ter: sen x = sen π/4, vamos aplicar a fórmula da equação Trigonométrica fundamental do seno:

$\Large \boxed{\begin{array}{c} \\\sf sen x = 1 \Rightarrow senx = sen \dfrac{π}{4} \\ \\ \sf x = \alpha + 2k\pi \: \: ou \: \: (\pi - \alpha ) + 2k\pi \\ \\ \sf x = \dfrac{π}{4} + 2k\pi \: \: ou \: \: \pi - \dfrac{π}{4} + 2k\pi \\\\\sf x = \dfrac{π}{4} + 2k\pi \: \: ou \: \: \dfrac{π}{4} + 2k\pi \\\\\sf x = \dfrac{π}{4} + 2k\pi \\\: \end{array}}$

• x = π/4 + 2kπ

Guardamos esse resultado, e agora vamos fazer a resolução da outra equação

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sen x = -1/2

Pensando um pouco mais, vamos recorrer novamente a circunferência Trigonométrica. Veja que, Sen 30° = 1/2, então para acharmos um seno cujo seu resultado dê -1/2, vamos pegar o ponto 30° da circunferência e traçar até o quadrante negativo, no caso, uma linha vertical a partir do ângulo de 30°, logo:

• 180° + 30° = 210°

Achamos o resultadoz de fato Sen 210°, é -1/2. Vamos converveter em Radianos

$\large \boxed{ \begin{array}{c} \\ \Bigg\downarrow\!\!\!\!\!\!\large\begin{array}{cc}{\sf \quad 180\quad\textsf{--------------------}\quad \pi}\\\\ {\sf \quad\,\,\!210\quad \textsf{--------------------}\quad x}\end{array}\: \:\!\Bigg\downarrow \\ \\ \sf 180x = 210\pi \\ \\ \sf x = \dfrac{21\pi \not0}{18 \not0} </p><p> \\ \\ \sf x = \dfrac{ {21\pi}^{ \div 3} }{ {18}^{ \div 3} } \\ \\ \sf x = \dfrac{7\pi}{ 6} \\ \: \end{array}}$

• Temos que sen 7π/6

Fazenda a fórmula da equação Trigonométrica fundamental do seno:

$\Large \boxed{\begin{array}{c} \\\sf sen x = - \dfrac{1}{2} \Rightarrow senx = sen \dfrac{7π}{6} \\ \\ \sf x = \alpha + 2k\pi \: \: ou \: \: (\pi - \alpha ) + 2k\pi \\ \\ \sf x = \dfrac{π}{4} + 2k\pi \: \: ou \: \: \pi - \dfrac{7π}{6} + 2k\pi \\\\\sf x = \dfrac{7π}{6} + 2k\pi \: \: ou \: \: - \dfrac{π}{6} + 2k\pi \\ \: \end{array}}$

Visto que não é muito comum ter um ângulo negativo, a partir do ponto -π/6, vamos dar a volta completa, ou seja, 2π, efetuamos a subtração:

$\Huge \boxed{\boxed{\sf\sf 2\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{11\pi}{6} }}$

• Resultado para Senx = -1/2:

$\large \boxed{ \boxed{ \sf x = \dfrac{7\pi}{6} + 2k \pi \: \: ou \: \: \dfrac{11\pi}{6} + 2k \pi}}$

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Juntando resultados:

$\large \boxed{\boxed{\sf S = \{ x \in \mathbb{R} / x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \: \: ou \: \: x = \dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi \: \: ou \: \: x = \dfrac{11\pi}{6} + 2k \pi, k \in \mathbb{Z} \} }}$

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