Question

2) Se i=√(-1) e a unidade imaginaria, então i^539 e igual

Answer 1

Temos duas formas de resolver.

1ª. Usando propriedades de potência:

$i^{539}=i\left(i^2\right)^{269} = \left(-1\right)^{269} \cdot i \\\\ =-1^{269} \cdot i = -1 \cdot i\\\\ = -i$


2ª Aplicando a regularidade entorno das potências de i:

Se calcularmos 1¹, i², i³, i⁴, i⁵,... Podemos observar que os resultados obtidos começam a se repetir depois de i⁴.

Dividindo 539 por 4, obtemos resto 3. Por causa dessa repetição de 4 em 4 períodos, sabemos que

i³ = i² · i¹ = (1)i = -i

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o valor  da referida potência da unidade imaginária é:

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf P(i^{539}) = -i\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a potência da unidade imaginária:

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} i^{539}\end{gathered}$

Para calcular o valor desta potência devemos utilizar a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} P(i^{n}) = i^{n - \left[\bigg\lfloor\dfrac{n}{4}\bigg\rfloor\cdot4\right]},\:\:n\in\mathbb{Z}\end{gathered} }$

Onde:

         $\Large\begin{cases} P = Pot\hat{e}ncia\:final\\i = Unidade\:imagin\acute{a}ria\\n = Pot\hat{e}ncia\:inicial\end{cases}$

Observe que a parte da fórmula representada por...

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bigg\lfloor\dfrac{n}{4}\bigg\rfloor\end{gathered}$

...representa o piso do quociente entre o valor do expoente "n" e "4".

Substituindo os valores na equação "I", temos:

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} P(i^{539}) = i^{539 -\left[\bigg\lfloor\dfrac{539}{4}\bigg\rfloor\cdot4\right]}\end{gathered} }$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = i^{539 -\left[\lfloor134,75\rfloor\cdot4\right]}\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = i^{539 - \left[134\cdot4\right]}\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = i^{539 - 536}\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = i^3\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = i\cdot i\cdot i\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = i^{2}\cdot i\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -1\cdot i\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = - i\end{gathered}$

✅ Portanto, o resultado é:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} P(i^{539}) = -i\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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