Question

2) Sabendo que os termos da PG ( x - 3, √x2 - 7, 2x + 1, ...) são
números reais, escreva os cinco
primeiros termos numéricos dessa
progressão.​

Answer 1

Os cinco primeiros termos numéricos dessa progressão são 1, 3, 9, 27, 81.

Se a sequência (x - 3, √(x² - 7), 2x + 1, ...) é uma progressão geométrica, então é válido dizer que:

(√(x² - 7))² = (x - 3)(2x + 1)

x² - 7 = 2x² + x - 6x - 3

x² - 5x + 4 = 0.

Temos aqui uma equação do segundo grau. Para resolvê-la, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara. Dito isso, temos que:

Δ = (-5)² - 4.1.4

Δ = 25 - 16

Δ = 9.

Como Δ > 0, então a equação do segundo grau possui duas soluções reais distintas. São elas:

$x=\frac{5+-\sqrt{9}}{2}$

$x=\frac{5+-3}{2}$

$x'=\frac{5+3}{2}=4$

$x''=\frac{5-3}{2}=1$.

Se x = 4, então a progressão geométrica será (1, 3, 9, 27, 81, ...).

Se x = 1, então a progressão geométrica será (-2, √-6, 3, ...). Observe que, nesse caso, não temos apenas números reais.

Portanto, a progressão geométrica é (1, 3, 9, 27, 81, ...).