Question

2) Resolva o sistema de três equações aplicando a regra de Cramer:
x-2 y + z = 1
2x+y-z=0
- x + 3y - 2z=-3
a) () = {(3,4,5)}
b) () = {(1,2,4)}
c) () V={(0,1,2)}
d) ( )V = {(1,3,5)}

Answer 1

Temos o sistema linear 3x3:

$\begin{array}{l}\begin{cases}\sf x-2y+z=1\\\\ \sf 2x+y-z=0\\\\ \sf -x+3y-2y=-3\end{cases}\end{array}$

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O objetivo aqui é determinar os valores de x, y e z aplicando a Regra de Cramer. Segue a resolução desta regra abaixo

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Para encontrar os valores das incógnitas usaremos:

$\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\\\quad \sf x=\dfrac{D_x}{D}\quad\, ,\quad\, y=\dfrac{D_y}{D}\quad\, ,\quad\, z=\dfrac{D_z}{D}\quad \\\\ \end{array}}}$

Onde "D" representa o determinante de uma matriz 3x3

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Para calculá-lo, os elementos desta matriz serão os coeficientes das equações do primeiro membro:

$\begin{array}{l}\sf D=\begin{vmatrix}\sf 1&\sf -2 \: \: \: &\sf 1\\ \sf2&\sf1&\sf -1 \: \: \: \\ \sf -1 \: \: &\sf3&\sf -2 \: \: \end{vmatrix}\end{array}$

• Pela Regra de Sarrus: repita as duas colunas iniciais ao lado da matriz, multiplique a diagonal principal, e subtraia da multiplicação da diagonal secundária:

$\begin{array}{l}\sf D=\begin{vmatrix}\sf 1&\sf -2 \: \: \: &\sf 1\\ \sf2&\sf1&\sf -1 \: \: \: \\ \sf -1 \: \: &\sf3&\sf -2 \: \: \end{vmatrix}\begin{matrix}\sf 1&\sf -2 \: \: \: \\ \sf2&\sf1\\ \sf -1 \: \: &\sf3\end{matrix} \\\\ \sf D=1.1.(-2)+(-2).(-1).(-1)+1.2.3-[1.1.(-1)+1.(-1).3+(-2).2.(-2)]\\\\ \sf D=-2-2+6-[-1-3+8]\\\\ \sf D=2-[4] \\\\ \sf D=1-4\\\\ \!\boxed{\sf D=-2}\end{array}$

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Agora vamos calcular Dx, Dy e Dz

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$\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\\ \quad \sf Calculando~~D_x\quad \\\\ \end{array}}}$

Utilizando a mesma matriz de antes, troque a primeira coluna pelos termos independentes do segundo membro do sistema, ficando:

$\begin{array}{l}\sf D_x=\begin{vmatrix}\sf 1&\sf -2 \: \: \: &\sf 1\\ \sf0&\sf1&\sf -1 \: \: \: \\ \sf -3 \: \: &\sf3&\sf -2 \: \: \end{vmatrix}\end{array}$

• Pela Regra de Sarrus:

$\begin{array}{l}\sf D_x=\begin{vmatrix}\sf 1&\sf -2 \: \: \: &\sf 1\\ \sf0&\sf1&\sf -1 \: \: \: \\ \sf -3 \: \: &\sf3&\sf -2 \: \: \end{vmatrix}\begin{matrix}\sf 1&\sf -2 \: \: \:\\ \sf0&\sf1\\ \sf -3 \: \: &\sf3\end{matrix} \\\\ \sf D_x=1.1.(-2)+(-2).(-1).(-3)+1.0.3-[1.1.(-3)+1.(-1).3+(-2).0.(-2)]\\\\ \sf D_x=-2-6+0-[-3-3+0]\\\\ \sf D_x=-8-[-6]\\\\ \sf D_x=-8+6\\\\ \!\boxed{\sf D_x=-2}\end{array}$

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$\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\\ \quad \sf Calculando~~D_y\quad \\\\ \end{array}}}$

Desta vez troque a segunda coluna pelos termos independentes do segundo membro do sistema, ficando:

$\begin{array}{l}\sf D_y=\begin{vmatrix}\sf 1&\sf 1 &\sf 1\\ \sf2&\sf0&\sf -1 \: \: \: \\ \sf -1 \: \: &\sf-3 \: \: \:&\sf -2 \: \: \end{vmatrix}\end{array}$

• Pela Regra de Sarrus:

$\begin{array}{l}\sf D_y=\begin{vmatrix}\sf 1&\sf 1 &\sf 1\\ \sf2&\sf0&\sf -1 \: \: \: \\ \sf -1 \: \: &\sf-3 \: \: \:&\sf -2 \: \: \end{vmatrix}\begin{matrix}\sf 1&\sf 1\\ \sf2&\sf0 \\ \sf -1 \: \: &\sf-3 \: \: \:\end{matrix}\\\\ \sf D_y=1.0.(-2)+1.(-1).(-1)+1.2.(-3)-[1.0.(-1)+1.(-1).(-3)+1.2.(-2)]\\\\ \sf D_y=0+1-6-[0+3-4]\\\\ \sf D_y=-5-[-1]\\\\ \sf D_y=-5+1\\\\ \!\boxed{\sf D_y=-4}\end{array}$

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$\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\\ \quad \sf Calculando~~D_z\quad \\\\ \end{array}}}$

Desta vez troque a terceira coluna pelos termos independentes do segundo membro do sistema, ficando:

$\begin{array}{l}\sf D_z=\begin{vmatrix}\sf 1&\sf -2 \: \: \: &\sf 1\\ \sf2&\sf1&\sf0 \\ \sf -1 \: \: &\sf3&\sf -3 \: \: \end{vmatrix}\end{array}$

• Pela Regra de Sarrus:

$\begin{array}{l}\sf D_z=\begin{vmatrix}\sf 1&\sf -2 \: \: \: &\sf 1\\ \sf2&\sf1&\sf0 \\ \sf -1 \: \: &\sf3&\sf -3 \: \: \end{vmatrix}\begin{matrix}\sf 1&\sf -2 \: \: \: \\ \sf2&\sf1 \\ \sf -1 \: \: &\sf3 \end{matrix}\\\\ \sf D_z=1.1.(-3)+(-2).0.(-1)+1.2.3+1.1.(-1)+1.0.3+(-2).2.(-3)\\\\ \sf D_z=-3+0+6-[-1+0+12]\\\\ \sf D_z=3-[11]\\\\ \sf D_z=3-11\\\\ \!\boxed{\sf D_z=-8}\end{array}$

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Agora que temos D, Dx, Dy e Dz, basta substituir em:

$\boxed{\begin{array}{l}\sf x=\dfrac{D_x}{D}\quad\, ,\quad\, y=\dfrac{D_y}{D}\quad\, \:,\quad\, z=\dfrac{D_z}{D} \\\\ \sf x=\dfrac{-2}{-2}\quad\, ,\quad\, y=\dfrac{-4}{-2}\quad\, ,\quad\, z=\dfrac{-8}{-2}\\\\ \sf x=1\quad\, \: \: \: \: ,\quad\, y=2\quad\, \: \: \: \: \: ,\quad\, z=4\end{array}}$

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Resposta: Assim o conjunto verdade é:

$\large\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\\\quad \sf V=\Big\{\Big(1~~,~~2~~,~~4\Big)\Big\}\quad \\\\ \end{array}}}$

=> Letra B

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Att. Nasgovaskov

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