Question

2)resolva as equações biquadrada
a)x4-5x2+4=0
b)x4+2x4-3=0
c)x4-17x2+16=0
d)x4-13x2+36=0
e)x4+6x2+5=0
f)x4+x2-2=0

Answer 1

Em cada caso, x⁴ vira y², e x² vira y.
a) x⁴ - 5x² + 4 = 0
    y² - 5y + 4 = 0
    a = 1; b = -5; c = 4
    Delta:
    Δ = b² - 4ac
    Δ = (-5)² - 4 * 1 * 4
    Δ = 25 - 16
    Δ = 9
    Bhaskara:
    y = - b ± √Δ / 2a
    y = - (-5) ± √9 / 2 * 1
    y = 5 ± 3 / 2
    y' = 5 + 3 / 2 = 8 / 2 = 4
    y'' = 5 - 3 / 2 = 2 / 2 = 1
    Como x² = y, temos:
    x² = 4             x² = 1
    x = ± √4         x = ± √1
    x = ± 2           x = ± 1
    O conjunto verdade da equação é: V = {-2, -1, 1, 2}

b) x⁴ + 2x² - 3 = 0
    y² + 2y - 3 = 0    
    Delta:
    Δ = 2² - 4 * 1 * (-3)
    Δ = 4 + 12
    Δ = 16
    Bhaskara:
    y = - 2 ± √16 / 2 * 1
    y = - 2 ± 4 / 2
    y' = - 2 + 4 / 2 = 2 / 2 = 1
    y'' = - 2 - 4 / 2 = -6 / 2 = -3
    Como x² = y, temos:
    x² = 1             x² = -3
    x = ± √1         x = ± √-3 ⇒ x ∉ IR
    x = ± 1
    O conjunto solução da equação é: V = {-1, 1}

c) x⁴ - 17x² + 16 = 0
    y² - 17y + 16 = 0
    Delta:
    Δ = (-17)² - 4 * 1 * 16
    Δ = 289 - 64
    Δ = 225
    Bhaskara:
    y = - (-17) ± √225 / 2 * 1
    y = 17 ± 15 / 2
    y' = 17 + 15 / 2 = 32 / 2 = 16
    y'' = 17 - 15 / 2 = 2 / 2 = 1
    Como x² = y, temos:
    x² = 16           x² = 1    
    x = ± √16       x = ± √1
    x = ± 4           x = ± 1
    O conjunto verdade da equação é: V = {-4, -1, 1, 4}
 
d) x⁴ - 13x² + 36 = 0
    y² - 13y + 36 = 0
    Delta:
    Δ = (-13)² - 4 * 1 * 36
    Δ = 169 - 144
    Δ = 25
    Bhaskara:
    y = - (-13) ± √25 / 2 * 1
    y = 13 ± 5 / 2
    y' = 13 + 5 / 2 = 18 / 2 = 9
    y'' = 13 - 5 / 2 = 8 / 2 = 4
    Como x² = y, temos:
    x² = 9             x² = 4
    x = ± √9         x = ± √4
    x = ± 3           x = ± 2
    O conjunto verdade da equação é: V = {-3, -2, 2, 3}

e) x⁴ + 6x² + 5 = 0
    y² + 6y + 5 = 0
    Delta:
    Δ = 6² - 4 * 1 * 5
    Δ = 36 - 20
    Δ = 16
    Bhaskara:
    y = - 6 ± √16 / 2 * 1
    y = - 6 ± 4 / 2
    y' = - 6 + 4 / 2 = -2 / 2 = -1
    y'' = - 6 - 4 / 2 = -10 / 2 = -5
    Como x² = y, temos:
    x² = -1                            x² = -5
    x = ± √-1 ⇒ x ∉ IR         x = ± √-5 ⇒ x ∉ IR
    Como as raízes da equação (y' e y'') são negativas, não há conjunto                 verdade.

f) x⁴ + x² - 2 = 0
   y² + y - 2 = 0
   Delta:
   Δ = 1² - 4 * 1 * (-2)
   Δ = 1 + 8
   Δ = 9
   Bhaskara:
   y = - 1 ± √9 / 2 * 1
   y = - 1 ± 3 / 2
   y' = - 1 + 3 / 2 = 2 / 2 = 1
   y'' = - 1 - 3 / 2 = -4 / 2 = -2
   Como x² = y, temos:
   x² = 1              x² = -2    
   x = ± √1          x = ± √-2 ⇒ x ∉ IR
   x = ± 1
   O conjunto solução da equação é: V = {-1, 1}

Espero ter ajudado. Valeu!