Question

2 questões sobre probabilidade. Envolvendo alguns teoremas.​

Answer 1

Questão 1:

a) Um dado não viciado é composto de seis possíveis valores: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Lançando um dado não viciado 10 vezes, e computando o resultado da face superior, qual a probabilidade de saírem exatamente 3 valores maiores que 4?

Então, digamos que X seja a variável aleatória que representa a face superior em um lançamento. Para ser maior do que 4, precisamos que:

$P(X = 5 \| X = 6)$

Isto é, a probabilidade de sair 5 ou 6 apenas.

Dado que o dado possui seis valores possíveis:

$P(X=a) = \dfrac{1}{6}$

Temos 1/6 de probabilidade para cada face.

Então:

$P(X = 5 \| X = 6) = P(X=5) + P(X=6)$

$P(X = 5 \| X = 6) = \dfrac{1}{6}+ \dfrac{1}{6}$

$P(X = 5 \| X = 6) = \dfrac{2}{6}$

$P(X = 5 \| X = 6) = \dfrac{1}{3}$

Agora, o resto é simplesmente utilizar o Teorema de Bernoulli:

$p(n,k) = \dfrac{n!}{(n-k)! \cdot k!} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{(n-k)}$

Onde:

$n$ é o número de lançamentos do dado;

$k$ é o número de vezes a condição é obtida (X=5 ou X = 6).

$p$ é a probabilidade dessa condição acontecer.

Então:

$p(10,3) = \dfrac{10!}{(10-3)! \cdot 3!} \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^k \cdot \left(1 - \dfrac{1}{3}\right)^{(10-3)}$

$p(10,3) = \dfrac{10!}{7! \cdot 3!} \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^7$

$p(10,3) = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \dfrac{1^3}{3^3} \cdot \dfrac{2^7}{3^7}$

$p(10,3) = \dfrac{720}{6} \cdot \dfrac{1}{27} \cdot \dfrac{128}{2187}$

$p(10,3) = 0.260123$

Ou seja, a probabilidade disso ocorrer é de 26,0123 %.

b) Lançando um dado não viciado duas vezes, defina a variável aleatória como o módulo da diferença das duas faces superiores obtidas:

Seja $\alpha$ a face superior obtida no primeiro lançamento e $\beta$ a face superior obtida no segundo lançamento. Temos que:

$X = |\alpha - \beta|$

As possibilidades para $\alpha$ e $\beta$ são:

$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

Então os possíveis valores que essa váriavel aleatória pode assumir são:

$X = |1 - 1| = |2 - 2| = |3 - 3| = |4 - 4| = |5 - 5| = |6 - 6|= 0$

$X = |2 - 1| = |1 - 2| = |3 - 2| = |2 - 3| = |4 - 3| = |3 - 4| = |5 - 4| = |4 - 5| = |6 - 5| = |5 - 6| = 1$

$X = |3 - 1| = |1 - 3| = |4 - 2| = |2 - 4| = |5 - 3| = |3 - 5| = |6 - 4| = |4 - 6| = 2$

$X = |4 - 1| = |1 - 4| = |5 - 2| = |2 - 5| = |6 - 3| = |3 - 6| = 3$

$X = |5 - 1| = |1 - 5| = |6 - 2| = |2 - 6| = 4$

$X = |6 - 1| = |1 - 6| = 5$

Resumindo: $X = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$

Em dois lançamentos, há 36 possibilidades de resultado.

Logo, a função de probabilidade é:

$P(X = 0) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$

$P(X = 1) = \dfrac{10}{36} = \dfrac{5}{18}$

$P(X = 2) = \dfrac{8}{36} = \dfrac{2}{9}$

$P(X = 3) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$

$P(X = 4) = \dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9}$

$P(X = 5) = \dfrac{2}{36} = \dfrac{1}{18}$

Determine o valor esperado:

O valor esperado pode ser calculado por:

$E[X] = \sum_{i=0}^5 i \cdot P(X = i)$

Assim:

$E[X] = 0 \cdot \dfrac{1}{6} + 1 \cdot \dfrac{5}{18} + 2 \cdot \dfrac{2}{9} + 3 \cdot \dfrac{1}{6} + 4 \cdot \dfrac{1}{9} + 5 \cdot \dfrac{1}{18}$

$E[X] = 0 +\dfrac{5}{18} + \dfrac{4}{9} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{4}{9} + \dfrac{5}{18}$

$E[X] = \dfrac{5}{9} + \dfrac{8}{9} + \dfrac{1}{2}$

$E[X] = \dfrac{13}{9} + \dfrac{9}{18}$

$E[X] = \dfrac{26}{18} + \dfrac{9}{18}$

$\boxed{E[X] = \dfrac{35}{18}}$

Questão 2:

Seja $X \thicksim \text{Poisson}(3)$, responda as seguintes perguntas:

a) $P(X = 3)$

A distribuição de probabilidade do modelo de Poisson é:

$P(X = x) = e^{-\lambda} \cdot \dfrac{\lambda^x}{x!}\text{x = 0, 1, 2, 3...}$

Onde $\lambda = 3$ . x = 3. logo resta substituir:

$P(X = 3) = e^{-3} \cdot \dfrac{3^3}{3!}$

$P(X = 3) = e^{-3} \cdot \dfrac{27}{6}$

$\boxed{P(X = 3) \approx 0.224042}$

b) $P(X < 1 | X < 4)$

Qual a probabilidade de X ser menor que 1, dado que X é menor do que 4?

Probabilidade condicional:

$P(B|A) = \dfrac{P(A \cdot B)}{P(A)}$

Assim:

$P(X < 1 | X < 4) = \dfrac{P(X < 1 \cdot X < 4)}{P(X < 4)}$

A probabilidade de X < 1 E X < 4 é a probabilidade de X < 1, pois 1 < 4:

$P(X < 1 | X < 4) = \dfrac{P(X < 1)}{P(X < 4)}$

Isto é:

$P(X < 1 | X < 4) = \dfrac{P(X = 0)}{P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X=3)}$

Utilizando a fórmula:

$P(X = 0) = e^{-3} \cdot \dfrac{3^0}{0!} = e^{-3} \approx 0.049787$

$P(X = 1) = e^{-3} \cdot \dfrac{3^1}{1!} = 3 \cdot e^{-3}\approx 0.149361$

$P(X = 2) = e^{-3} \cdot \dfrac{3^2}{2!} = e^{-3} \cdot \dfrac{9}{2} \approx  0.224042$

Substituindo:

$P(X < 1 | X < 4) = \dfrac{0.049787}{0.049787 + 0.149361 + 0.224042 + 0.224042}$

$P(X < 1 | X < 4) = \dfrac{0.049787}{0.647232}$

$\boxed{P(X < 1 | X < 4) \approx 0.076923}$