Question

2 questões de probabilidade e estatística.​

Answer 1

Questão 6: O supervisor de qualidade de uma fábrica de artigos esportivos suspeita que no mês passado houveram mais artigos com defeito do que o normal. Para testar essa hipótese que num lote de 81 artigos, para 19 deles foram encontrados defeito. Sabendo que a proporção de artigos, em geral, é de 15%.

a) Teste a hipótese adequada com 5% de significância com base na região de rejeição, na escala original dos dados para avaliar se o número de artigos defeituosos aumentou.

Hipótese nula:

$H_0: p = 0.15$

Hipótese alternativa unilateral à direita:

$H_1: p > 0.15$

Nível de significância adotado:

$\alpha = 0.05$

Expressando o valor de Z para o teste de 1 proporção:

$Z = \dfrac{p - \pi_0}{\sqrt{\dfrac{\pi_0 \cdot (1 - \pi_0)}{n}}}$

Onde:

$\pi_0$ é a proporção obtida anteriormente (15% = 0.15);

$n$ é o tamanho da amostra (81 artigos).

$Z$ é o valor na tabela Z representando o nível de significância do teste.

$p$ é necessário para definir a região crítica.

Então, substituindo:

$Z = \dfrac{p - 0.15}{\sqrt{\dfrac{0.15 \cdot (1 - 0.15)}{81}}}$

$Z = \dfrac{p - 0.15}{\sqrt{\dfrac{0.15 \cdot 0.85}{81}}}$

$Z = \dfrac{p - 0.15}{\sqrt{\dfrac{0.1275}{81}}}$

$Z = \dfrac{p - 0.15}{0.03967}$

A região crítica é:

$RC = \{\hat{p} \geq p \}$

Como nesse caso utilizamos a cauda à direita da normal, é preciso olhar na tabela Z para encontrar qual o valor mais próximo de 1 - 0.05 = 0.95.

O valor de Z nesse caso é 1.645 (tabela em anexo). Assim:

$1.645 = \dfrac{p - 0.15}{0.03967}$

Isolamos $p$:

$1.645 \cdot 0.03967 = p - 0.15$

$0.065265 = p - 0.15$

$p = 0.15 + 0.065265$

$p = 0.2152647$

Logo:

$RC = \{\hat{p} \geq 0.2152647 \}$

Agora observamos a evidência na amostra a partir dos dados do enunciado:

$\hat{p}_{obs} = \dfrac{19}{81} = 0.234568$

Assim:

$\hat{p}_{obs} = 0.234568 \in RC$

Rejeita-se $H_0$.

Conclui-se que as evidências apontam que o número de artigos defeituosos aumentou.

Questão 7: Uma variável aleatória X tem função de probabilidade dada por:

$p(x) = 2^{-x}\text{ , }\{x = 1\text{, }2\text{, }3\text{, ...}\}$

Demonstre que p(x) é uma função de probabilidade.

Bem, aqui para termos uma função de probabilidade há duas condições que precisam ser atendidas:

1) Toda probabilidade deve estar contida no intervalo entre 0 e 1;

2) A soma de todas as probabilidades precisa ser 1.

A primeira condição é simples de ser demonstrada. Basta testar a função para diferentes valores de x e perceber que:

$p(1) = 2^{-1} = \dfrac{1}{2} = 0,5$

$p(2) = 2^{-2} = \dfrac{1}{4} = 0,25$

$p(3) = 2^{-3} = \dfrac{1}{8} = 0, 125$

$p(\infty) = 2^{-\infty} = 0$

Ou seja, a condição é satisfeita.

A segunda condição pode ser atendida se perceber que a soma das probabilidades é dada por:

$S = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2^3} + ... = \sum_{i = 0}^{\infty} \dfrac{1}{2} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^i$

E isso é uma série geométrica com $a = \dfrac{1}{2}$ e $r = \dfrac{1}{2}$

A soma da série geométrica é dada por:

$S = \dfrac{a}{1 - r}$

Substituindo:

$S = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1 - \dfrac{1}{2}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}} = 1$

Demonstrando que a segunda condição também é satisfeita e essa é uma função de probabilidade.