Matemática, perguntado por juula, 9 meses atrás

2-Qual a equação da parábola de foco no ponto F(0,4) e vértice no ponto V(0,1)? a) x - y² + 12 = 0 b) x - 12y² + 12 = 0 c) x² - y + 12 = 0 d) x² - 12y + 12 = 0

Soluções para a tarefa

Respondido por erononp6eolj

Resposta:

d) x² - 12y + 12 = 0

Explicação passo-a-passo:

Como o vértice e o foco estão na mesma coordenada x com o foco acima do vértice, esta parábola está no eixo vertical com a concavidade para cima. A equação da parábola é:

(x - x₀)² = 2p(y - y₀)

Onde: x₀, y₀ são as coordenadas do vértice e p é o parâmetro (distância do foco à reta diretriz = duas vezes a distância do foco ao vértice). Assim,

x₀ = 0

y₀ = 1

p = (4 - 1)*2 = 6

Substituindo,

x² = 2*6*(y - 1)

x² - 12y + 12 = 0

Respondido por solkarped

✅ A equação da parábola é:

$\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x^{2} - 12y + 12 = 0\end{gathered}$}$

Portanto, a resposta correta é:

Letra D

Se os pontos notáveis da parábola são:

$Pontos: \large\begin{cases}F(0, 4)\\V(0, 1) \end{cases}$

Uma vez que a abscissa do vértice é igual à abscissa do foco, concluímos que o eixo de simetria da parábola é perpendicular ao eixo das abscissas. Isto significa dizer que a concavidade da parábola ou está voltada para baixo ou para cima. Diante disso, a equação da parábola poderá ser montada sobre a seguinte fórmula:

1ª $\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}(X - X_{V})^{2} = 4\cdot P\cdot(Y - Y_{V}) \end{gathered}$}$

Sabendo que P é a distância entre o foco e o vértice, então:

$\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}P = D_{\overline{FV}} = |4 - 1| = |3| = 3 \end{gathered}$}$

Substituindo os valores na 1ª equação, temos:

$\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}(x - 0)^{2} = 4\cdot3\cdot(y - 1) \end{gathered}$}$

$\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x^{2} = 12\cdot(y - 1) \end{gathered}$}$

$\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x^{2} = 12y - 12 \end{gathered}$}$

$\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x^{2} - 12y + 12 = 0 \end{gathered}$}$

✅ Portanto, a equação geral da parábola é:

$\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x^{2} - 12y + 12 = 0 \end{gathered}$}$

Como o foco está acima do vértice, significa que a concavidade da parábola está voltada para CIMA. ou seja:

$\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}Se\: X_{F} = X_{V}\:\:e\:\:Y_{F} > Y_{V} \end{gathered}$}$

$\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\Longrightarrow\:\:\:concavidade\:\:\:\cup \end{gathered}$}$

Para encontrar o ponto de interseção "I" entre o eixo de simetria da parábola é a reta diretriz, utilizamos a estratégia do ponto médio:

$(X_{I} , Y_{I} ) = (2X_{V} -X_{F} , 2Y_{V} - Y_{F} )$

$= (2.0 - 0, 2.1 - 4)$

$= (0, -2)$

✅ Desta forma o ponto de interseção procurado é:

$\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}I(0, -2) \end{gathered}$}$

✅ Se o eixo de simetria da parábola é perpendicular ao eixo das abscissas, então, sua reta diretriz "d" é paralela ao eixo das abscissas, passando pelo ponto "I(0, -2)", ou seja:

$\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}d: y = -2 \end{gathered}$}$