Question

2) Quais são as coordenadas dos
focos da elipse de equação:
$\frac{x {}^{2} }{100} + \frac{y^{2} }{36} = 1$
​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{F_1~(-8,~0)~~~e~~~F_2~(8,~0)}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para encontrarmos as coordenadas dos focos da elipse de equação

$\dfrac{x^2}{100}+\dfrac{y^2}{36}=1$

Primeiro, lembremos qual é a equação reduzida de uma elipse com centro nas coordenadas $(x_c,~y_c)$, semieixo maior $a$ e semieixo menor $b$:

$\dfrac{(x-x_c)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_c)^2}{b^2}=1$

Ao compararmos a equação que temos com a equação reduzida, descobrimos que o centro tem coordenadas $(0,~0)$ e os semieixos maior e menor valem $10$ e $6$, respectivamente.

Os focos estão nas posições $(-c,~y_c)$ e $(c,~y_c)$ quando o eixo maior está na horizontal (que é o caso da equação dada pelo enunciado). Para calcularmos o valor de $c$, utilizamos o Teorema de Pitágoras:

Em elipse, sabemos que $a^2=b^2+c^2$

Substituindo os valores conhecidos, temos que

$100=36+c^2$

Subtraia $36$ em ambos os lados da equação

$c^2=100-36\\\\\\ c^2=64$

Retire a raiz quadrada em ambos os lados da equação

$c=\pm~\sqrt{64}$

Decompondo o radicando em fatores primos, observamos que $64=2^6$, logo

$c=\pm~\sqrt{2^6}\\\\\\ c=\pm~2^3$

Calculando a potência, temos que

$c=\pm~8$

Como se trata de uma figura geométrica, assumimos somente  solução positiva, logo

$c=8~~\checkmark$

Então, as coordenadas dos focos são:

$F_1~(-8,~0)$ e $F_2~(8,~0)$.

Observe na imagem: A  soma das distâncias entre um ponto pertencente à elipse e os focos é igual a medida do eixo maior.