Question

2. (Pucrj) Considere os pontos A (0, 6) e B (12, 0). Tomamos um ponto P sobre o segmento de reta AB. Considere o retângulo R com um vértice na origem, um vértice em P e lados sobre os eixos x e y. conforme a figura abaixo.

a) Encontre a equação da reta r que passa pelos pontos A e B.
b) Sejam (x, y) as coordenadas do ponto P.
Escreva, em função apenas de x, uma fórmula para a área do retângulo R.
c) Qual é a maior área possível para o retângulo R?

Por favor, se puder também explicar como a resolução está sendo feita eu agradeceria muito. Obrigado

Answer 1

A função da reta é dada por f(x)=mx+b

Sabemos que f(0)=6 e f(12)=0, logo:

f(0)=b=6

b=6

f(12)=12m+b=0

Substituindo em b=6:

12m+6=0

m=-6/12 = -1/2

A equação da reta que passa pelos pontos A e B é f(x) = -x/2 + 6

Sendo P(x,y), a área do retângulo com vértices (0,0), (0,y), (x,0), (x,y) é x*y

Ou seja, Área de R = x*y

Ele quer que escrevamos y em função de x. Veja que a nossa equação da reta já faz isso, pois sabemos que o ponto P está sobre a reta AB. Logo:

Área de R = x(-x/2 +6)

c) Perceba que, desenvolvendo a fórmula que achamos para a área do Retângulo, teremos:

Área de R = -x²/2 +6x, que é uma função quadrática, ou seja, uma parábola. O maior valor será o vértice da parábola, que terá as coordenadas(-b/2a, -delta/4a)

Basta substituirmos x por -b/2a = -6/(2*(-1/2)) = 6

Substituindo x por 6, temos 6(-1/2 * 6 +6) = 6(-3+6) = 6*3 = 18.

Bons estudos.