Question

2. Prove que o produto de dois números inteiros é ímpar se, e somente
se, ambos os números inteiros são ímpares.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

Sejam 2x + 1 e 2x + 3  dois números ímpares, então

(2x + 1 ).(2x + 3) será ímpar ∀x ∈ IR

Desenvolvendo (2x + 1 ).(2x + 3) vem

4x² + 6x + 2x + 3 = 4x² + 8x + 3 = (4x² + 8x) + 3 => 2(2x² + 4x) + 3

Fazendo 2x² + 4x = y vem que

2(2x² + 4x) + 3 => 2y + 3, que é ímpar ∀y ∈ IR

Agora, suponha que para x = n e n ∈ {1 , 2 , 3, ..., n, n + 1} o produto

(2x + 1).(2x + 3) seja verificado

Se x = n = 1 => (2.1 + 1).(2.1 + 3) = 3.5 = 15 (verdadeiro)

Se x = n => (2n + 1)(2n + 3) que também é verdadeiro

Agora supondo x = n + 1, vamos mostrar que o produto também será um número ímpar

Se x = n + 1 => [2(n+1) + 1].[2(n+1) + 3] => [2n + 2 + 1].[2n + 2 + 3] => (2n + 3)(2n + 5) => 4n² + 10n + 6n + 15 => 4n² + 16n + 15 => (4n² + 16n) + 15 => 2(2n² + 8n) + 15

Fazendo z = 2n² + 8n => que 2(2n² + 8n) + 15 = 2z + 15 que é impar ∀z ∈ IR

Answer 2

✅ Tendo terminado a demonstração, concluímos que o produto entre dois números inteiros ímpares sempre resultará em um número:

                     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \acute{I}mpar\:\:\:}}\end{gathered} }$

Partindo da premissa que todo número ímpar "i" pode ser escrito da forma:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$         $\Large\displaystyle\begin{gathered}i = 2k + 1,\:\:\:com\:k\in\mathbb{Z} \end{gathered}$

Então, definindo dois números ímpares como sendo:

                        $\Large\begin{cases}i_{1} = 2k_{1} + 1\\i_{2} = 2k_{2} + 1 \end{cases}$

Realizando a multiplicação entre ambos os números, temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(II) \end{gathered}$       $\Large\displaystyle\begin{gathered}i_{1}\cdot i_{2} = (2k_{1} + 1)\cdot(2k_{2} + 1) \end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 4k_{1}k_{2} + 2k_{1} + 2k_{2} + 1\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 4k_{1}k_{2} + 2(k_{1} + k_{2}) + 1 \end{gathered}$

Chegamos à:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(III) \end{gathered}$    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} i_{1}\cdot i_{2} = \underbrace{4k_{1}k_{2} + 2(k_{1} + k_{2})} + 1\end{gathered} }$

Observe que a parte destacada no 2º membro da equação "III", corresponde a um número par, Desse modo, este número acrescido de uma unidade, resultará sempre em um número ímpar.

Desta forma, independentemente dos valores de:

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}k_{1}\:\:\:e\:\:\:k_{2} \end{gathered}$

... sempre teremos no segundo membro da equação "III", um valor par representando a parte destacada e uma unidade que, quando realizada a adição, resultará um número ímpar.

De fato:

• Se os valores de "k" forem iguais:

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}k_{1} = k_{2} = k \end{gathered}$

       $\Large\displaystyle\begin{gathered}k = 0 \end{gathered}$

       $\Large\displaystyle\begin{gathered}i_{1} \cdot i_{2} = (2\cdot0 + 1)\cdot(2\cdot0 + 1) \end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (0 + 1)\cdot(0 + 1) \end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 1\cdot 1 \end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 1 \end{gathered}$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:i_{1}\cdot i_{2} = 1 = impar \end{gathered}$

• Se os valores de "k" forem diferentes:

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} k_{1}\ne k_{2}\end{gathered}$

        $\Large\begin{cases}k_{1} = 2\\k_{2} = 3 \end{cases}$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}i_{1}\cdot i_{2} = (2\cdot2 + 1)\cdot(2\cdot3 + 1) \end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (4 + 1)\cdot(6 + 1) \end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 5\cdot7 \end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 35 \end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:i_{1}\cdot i_{2} = 35 = impar \end{gathered}$

           

            $\Large\begin{cases}k_{1} = 4\\k_{2} = -2 \end{cases}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}i_{1}\cdot i_{2} = (2\cdot4 + 1)\cdot(2\cdot(-2) + 1) \end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (8 + 1)\cdot(-4 + 1) \end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 9\cdot(-3) \end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}= -27 \end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:i_{1}\cdot i_{2} = -27 = impar \end{gathered}$

✅ Portanto, o produto entre dois número inteiros ímpares, sempre resultará em um número ímpar.

Saiba mais:

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